前回、質問させて頂いた者です。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2881020.html
例えば、マチンの公式などの級数で円周率の近似値を求めた場合、何桁までが信頼できるのかの判断ですが、「打ち切り誤差」を評価すれば良いことが分かり、一度は質問を締め切ったものの、その「打ち切り誤差」の評価が難しくて再度質問をさせて頂きました。実際の計算場面では、本当に「打ち切り誤差」を評価しているのでしょうか?たとえば、「マチンの公式のn項までをとれば、m桁までの近似値が得られる」というように誤差が評価できるものなのでしょうか。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
マチンの公式で円周率を求めた場合
π/4~Σ[k=0,∞]{4*(-1)^k*(1/5)^(2k+1)/(2k+1)-(-1)^k*(1/239)^(2k+1)/(2k+1)}
ですからnまで計算した時の誤差は
Σ[k=n+1,∞]{4*(-1)^k*(1/5)^(2k+1)/(2k+1)-(-1)^k*(1/239)^(2k+1)/(2k+1)}
これがいくつかは無限級数ですが、どれぐらいの大きさかはk=n+1を計算するだけで
求まるのではないのでしょうか?(収束速いですし)
証明は置いておいて評価するだけならそれで十分だと思います。
ちなみに少し計算してみましたがk=0から99まで計算した時の誤差(π/4との差)は約、
-6.1521141257124290057806079413514173401996196681186*10^-143
ですが、k=100だけを計算すると
+6.3957733104835433852416401685220402090435940051056*10^-143
評価は出来ると思います。
この回答への補足
ご回答ありがとうございます。
確かに、収束が速い場合(1/10^n>an)には、k=n+1を計算するだけで誤差を評価できますが、収束が遅い場合(1/10^n<an)には評価が難しいのではないでしょうか。
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