No.2ベストアンサー
- 回答日時:
簡単のため4分円で議論します。
つまり第一象限だけ見るわけです。そうするとnは偶数である必要はないし、さらに自然数である必要もありません。他の象限でも議論したいときは絶対値をつけて|x|^n+|y|^n=1
としておけば、任意の正数nに対して、議論できます。またすでにご存知のとおり、n=1ならひし形(45度回転させた正方形)、n=2なら円、とくにn>1のときは外側に膨らんだ図形、n<1なら内側に膨らんだ図形になります。この第一象限の面積S(n)は、次の公式で与えられます。
S(n)=Γ(1+1/n)Γ(1/n)/{2Γ(2/n)}
ただしΓ(・)は階乗の一般化であるガンマ関数です。web等でもいくらでも参考ページは見つかると思います。面積の導出は積分を実行するだけですが、多少大学初年級の微積分は必要でしょう。それほど難しくはないですが。さて、ここでn→∞と極限を取ってやると、S(n)→1となります。すなわち正方形の面積になるわけですね。ちなみにn=2とすれば、Γ(1/2)=√π、Γ(3/2)={√π}/2、Γ(1)=1を使えば、S(2)=π/4となって、確かに4分円の面積になってますよね。
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