小学校のときの算数で面白い問題を思い出しました。

こんにちは。今、私は大学生なのですが、小学６年生のときに面白い問題に会いました。
昨日、デジャビュのように思い出し気になったので質問してみました。
「ダイヤモンドが１５個あります。王様は自分の子息４人（長男、次男、３男、４男）に年上から順番に
ダイヤモンドを半分ずつ分け与えようとしています。
しかし、この方法だと長男の取り分は７,５個、次男は３,７５個、３男は・・・とダイヤモンドをカットしていかなければなりません。
そこで王様は大臣にダイヤモンドを１個借りてきて、計１６個のダイヤモンドを同じ条件で分け与えます。
すると、長男は８個、次男は４個、３男は２個、４男は１個ときれいに分け与えることが出来て、
８＋４＋２＋１＝１５となりダイヤモンドは１個余りましたので、大臣に返しました。
さて、おかしなことに気づきましたでしょうか？
こんなことならわざわざ大臣からダイヤモンドを借りる必要はなかったはずです。」
という趣旨の問題でした。当時の私はこの算数の問題に大変興味を持ちましたが、結局さじを投げました。
あれから、１０年・・・昨日思い出したこの問題のからくりが分かる方教えてください。
結構有名な問題らしいですが。

No.2 ベストアンサー 回答者： azaasu 回答日時： 2007/07/14 15:10

15個の場合

長男7.5個
次男3.75個
三男1.875個
四男0.9375個
この合計でも14.0625個しかありません。
15-14.0625=0.9375です。
四男と同じ0.9375個余っている訳です。
16個でも四男と同じ数　余って当然です。
16個だとちょうど割り切れるから不思議な感じがするだけです。

四男に分ける時も割って分けるのだから、割った半分は余っているのです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
＞この合計でも14.0625個しかありません。
私もそこまでやりました。
＞16個だとちょうど割り切れるから不思議な感じがするだけです。
やはりそうなんでしょうね。小学生のときは完全に思考回路が停止してました。
補足で、当時の担任の先生は「この場合、ある人が儲けて、あるひとが損をしている」
ということを言ってました。

お礼日時：2007/07/14 15:25

No.6 回答者： Mandheling 回答日時： 2007/07/14 20:34

＞こんなことならわざわざ大臣からダイヤモンドを借りる必要はなかったはずです。

わたしが気になった点はここです。借りる必要は有りました。
なぜなら借りている間、そのダイヤモンドの所有者は王様なのですから。
分配後、王様はダイヤを1個持ってますが、大臣に対してダイヤ１個の負債があります。
王様は大臣にダイヤ１個返す義務があるので、返しておしまい。

ダイヤをカットせず子供たちに分配するために王様は、
分配する瞬間、所有するダイヤを16の倍数にしなければならなかったのです。
そのために、王様は大臣と貸借契約をしなければならなかった。
つまり、大臣からダイヤを借りなければならなかった。ということです。

例えば借金をして、完全に返済できたからといって、
後になって「借金をする必要が無かった」とか、「借金履歴は無い」などとはいえませんよね。
小学生どころか高校でも習わないですね。すみませんでした。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
＞負債、賃貸契約、借金履歴など
話が難しくなっていってますよね。こんなことは当時考えもしませんでした。＾＾

お礼日時：2007/07/15 09:12

No.5 回答者： tent-m8 回答日時： 2007/07/14 17:09

小学生に説明するなら・・・

長男から４男までは、確かに半分ずつになっています。
１５個というのは、ダイヤモンドの合計個数であり、１５個を最初に２で割るというのは、意味がないということです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2007/07/15 09:10

No.4 回答者： NaoyaO 回答日時： 2007/07/14 15:52

数列Anを1/2,1/4,1/8,…,1/(2^n)と定義します。

An=(1/2)^n

この数列Anのk=1からn→∞の和を求めると、
ΣAn=(1/2)*{1-(1/2)^∞}/(1-1/2)
=(1/2)*{1-0}/(1/2)
=1
つまり、人数が無限にいれば数列Anの和は1に収束します。
現実には人数は有限なので、そのルールで王がダイヤモンドを分け与える場合必ずあまりがでることになります。

こんなところですか？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
等比数列ですね。
＞人数が無限にいれば数列Anの和は1に収束します。
確かになります。
これを小学６年生に考えさせるとは、先生も意地が悪い＾＾

お礼日時：2007/07/14 15:59

No.3 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/07/14 15:34

まず「半分ずつ分けよう」と考えた王が愚かなのです。

それでは財産分与が完全ではありません。

さらに大臣からダイヤを 1個借りることで、最初に考えた分配比率ではなくなっていることにも気づいていません。更に愚かです。

>当時の担任の先生は「この場合、ある人が儲けて、あるひとが損をしている」
意味不明です。
あるいは、王は自分の取り分 1/16 を残しておこうとしがた、結局息子にすべてを贈与してしまったことを悔いているかもしれません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
＞あるいは、王は自分の取り分 1/16 を残しておこうとしがた、結局息子にすべてを贈与してしまったことを悔いているかもしれません。
おそらくこの見解の通りだと思います。

お礼日時：2007/07/15 09:09

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/07/14 15:01

半分づつ与えていったら、

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 15/16

で、もともと 1/16 あまっているだけ。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
＞1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 15/16
私も全く同じに考えていました。しかし、こんなにも単純でいいのかなという疑問がありました。

お礼日時：2007/07/14 15:20