不思議な答え

最近の朝日新聞に掲載されていた記事の中にこういうのがあったんです。
「１+２+３+４+５+６+７・・・＝－１/１２」
これってどう計算したらこの答えになるんですか？
小学校で習った計算方法だと絶対に負の数にならないはずですよね。
高校や大学に行くと理由が分かるんですか？

No.6 ベストアンサー 回答者： maku_x 回答日時： 2007/08/04 23:51

> 小学校で習った計算方法だと絶対に負の数にならないはずですよね。

その通りです。実数(現実に存在する数のことをそう言います)の範囲だけで考えれば、マイナスの値にならないことは明白です。

> 高校や大学に行くと理由が分かるんですか？
実は高校の数学でも、実数の範囲しか扱いません。なので高校数学が理解できても、この式は理解できません。大学(但し理系の学部)では実数の範囲ではない数「複素数」(に関する数学、難しい言葉で「複素関数論」と言います)を習いますので、物分りのいい人は理解できますが、理解できない人も居ます。※私は理解できないほうの一人でした。

で、この複素数について少し説明したいと思います。複素数とは、実数(現実に存在する数)と虚数(現実には存在しない数)を足した数字です。現実に存在しない数と言うのは分かりにくいと思いますが、中学の数学では2次方程式を習うと思います。その例題を考えることにします。
2次方程式
x^2(xの2乗) - 2 = 0
習えば分かりますが、答えは x=±√2 ですね。では、次の方程式の答えはいくつになるでしょうか。
x^2 + 2 = 0
中学の数学では、答えは無い、と習うはずです。ですがこれは、実数の範囲に答えが無いだけで、現実には存在しない「虚数」というところに答えがあります。仮にこの虚数を i=√-1 (このiを「虚数単位」と言います)とすると、上記の方程式の答えは、x=±√2i となります。

「なぜ虚数を使うのか」と疑問に感じられるかも知れませんが、その方が数学上都合が良い(簡単に計算できる)からです。ピンとこないかもしれませんが、まあそういうものだと思ってください。
中学の数学ではこの辺りが限界だと思いますので、ここらで止めておきます。あとは皆さんが書かれている通りですが、私はこれらの回答を理解するためのキーワードを挙げるにとどめます。

・ゼータ関数 (リーマン・ゼータ関数)
・正則関数 (単に「正則関数」と言う場合は、複素数の関数を指します)
・解析接続 (これが「1+2+3+4+5+6+7...=-1/12」を理解するための最も重要な考え方です)
・有理型関数 (あくまで「複素数の有利型関数」です。その辺は誤解なきよう)
・特異点
・多項式関数 (あくまで「複素数の多項式関数」です。その辺は誤解なきよう)

これらのキーワードは Wikipedia などで調べることができますが、普通の中学生ではまず理解できないと思います。新学期が始まったら、数学の先生に聞いてみるのがテかも知れません。もっとも「高校受験はおろか、大学受験にも出ない」と言われて逃げられる可能性が高いですが(笑)。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%82%A4% …

No.7 回答者： ringouri 回答日時： 2007/08/05 01:42

この種の質問は幾度もなされており、話題性充分なのでしょうが、一部の数学者の「悪乗り」以外の何者でもないですね。

当のプロの数学者（や新聞記者）は理科離れ、数学離れ、が深刻な昨今、このようなびっくりする式を記事にして、一般の人達に少しでも興味を示してもらえれば、ということなのでしょう。
数学への興味の持ち方（契機）は色々有って良いと思いますので、悪いとは思いませんが、説明もなしに式だけ示す人もいて、感心しません。

はっきり言って、どう説明しようが、この式は間違いです。
解析接続を持ち出して屁理屈を付ける数学者は、無限大への発散が有限値に収束する「くりこみのメカニズム」を一般の人にも分かるように説明出来ない限り、この式を引き合いに出すべきではありません。
（今までにそのような解説は見たことがありません。）

ただ単に「この式はゼータ関数の解析接続により正当化できる」などという決まりきった念仏を唱えるのではなく、本当に複素関数論の面白さを伝えられる解説をプロの数学者に期待したいです。
（誤解の無いように付け加えますが、これはこの欄の回答者の皆様への苦言ではありません。）

先週『オイラーの無限解析』（高瀬正仁訳）をやっと購入し（高価なのでなかなか買えなかった）読んでいる途中ですが、さすがに本物の数学者の発想法は違いますね。

No.5 回答者： sanori 回答日時： 2007/08/04 22:42

普通にやれば、負の数どころか、プラスの無限大になります。

これ、半年ぐらい前の、「たけしの誰でもピカソ」でやってました。
いかさまではなく、複素関数論を使うと、ちゃんと、そういう答えにたどり着くんだそうです。

そして、な、なんと、
１＋２＋３＋４＋・・・・・　＝　－１／１２
という答えがあることによって、
我々が住んでいるこの宇宙が成り立っている、ということがわかってきた！！！！！　んだそうです。
（私には、なんのこっちゃ分かりませんが、驚きました。）


１＋２＋３＋４＋・・・は、ゼータ関数の１つです。

ゼータ関数とは、
ζ(s) ＝ Σ[n=1から∞まで] １／ｎ^s
　＝　１／１^s ＋ １／２^s ＋ １／３^s ＋ １／４^s ＋ ・・・・・

１＋２＋３＋４＋・・・
は、
１／１^(-1) ＋ １／２^(-1) ＋ １／３^(-1) ＋ １／４^(-1) ＋ ・・・・・
なので、
ζ(－１)　と表すことができます。

「たけしの誰でもピカソ」で紹介されていたのは、
ζ(－１）　＝　１＋２＋３＋４＋・・・・・　＝　－１／１２
ζ(－２）　＝　１^2＋２^2＋３^2＋４^2＋・・・・・　＝　０
ζ(－３）　＝　１^3＋２^3＋３^3＋４^3＋・・・・・　＝　１／１２０
および　ζ(２）、ζ(４）、ζ(６）でした。
ζ(２）、ζ(４）、ζ(６）については下記。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%BC% …


以下、その番組に出演されていた先生方のコメント、

ζ(－１）、ζ(－２）、ζ(－３）などは、単純に足していけば無限になるということは間違いない。
しかし、複素関数論を使うことによって、
ζ(－１）　＝　－１／１２
ζ(－２）　＝　０
ζ(－３）　＝　１／１２０
というふうに"見てもよい"ということになる。
無限にも「色」があるというイメージ。すなわち、「－１／１２という（色の）無限」、「０という無限」、「１／１２０という無限」。
大学院よりも上のレベルの話であって、たとえば高校生が答案に書いてもバッテン。

（過去質問）
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa391562.html



余談

やはり、同じ番組ですが、
ζ(－３）＝１／１２０　については、
１９９７年に「カシミール効果」という不思議な物理現象の実験で実証された！　とのことです。
http://hp.vector.co.jp/authors/VA011700/physics/ …
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%82%B7% …

こちらはｐｄｆファイル
http://www.kitasato-u.ac.jp/sci/resea/buturi/his …

No.4 回答者： Suue 回答日時： 2007/08/04 21:52

確かに一見、これは明らかに成り立たないのでは、と思いますが、複素関数を学べば導ける式です。

それ以前に、この式では「イコール」の表す意味が通常の「イコール」とは違います。すでに書かれていますが、ゼータ関数に解析接続という操作を行ってあげると、この式を導けます。大学にいって、数学を専門的に学ばないとこの式は出てきません。

もちろん、
１＋２＋３＋４＋５＋……　＝　∞
という式も正しいです。つまり、自然数を１から順に足していくと無限になる、という意味ですが、この「イコール」は先ほどの「イコール」とはその表す意味がまったく違うので、
－１／１２　＝　∞
なんてことはしないで下さい。

また、同じように解析接続をすれば、
１＋１０＋１００＋１０００＋……　＝　－１／９
という式を導くこともできます。

ご参考までに。

No.3 回答者： kabaokaba 回答日時： 2007/08/04 21:26

式のミスでも間違いでもないです．

一番最近の朝日の記事ではラマヌジャン関係で小野先生関係で，
ちょっと前のはオイラー生誕300年記事では加藤先生関係で
この式が表にでてましたね．
朝日はこの式がよっぽどお気に入りなんでしょうか
有名な e^{it} = cos(t) + i sin(t)
以上に，見た目がすっとんきょうな式です．

>高校や大学に行くと理由が分かるんですか？
高校に行ってもこの式の意味はわかりません．
大学に行っても数学を専攻しないと分からないでしょう．

これはリーマンのゼータ関数と呼ばれるものです．
1+(1/2^s)+(1/3^s)+(1/4^s)＋・・・
と計算していくときの値です．
ただし，「普通の意味」では
s>=2のときしか値を持たないのですが，
ちょっとしたトリック
（解析接続といいます．大学で複素解析というのを習えばでてきますが，
かなり特徴的というかすごいものです）
を使うと拡張できて
その拡張を施した場合，s=-1 のときの値が -1/12 になるのです．
これを標語的に
1+2+3+・・・=-1/12
と表現しているのです
（s=-1 ならば 1/x^s = x ですので）．

No.2 回答者： kita33dr 回答日時： 2007/08/04 18:13

数学者オイラーの記事だと思います。

過去に似たような質問がありましたので、ＵＲＬを添付いたします。
これぐらいしかできませんが、ご参考になれば幸いです。

参考URL：http://okwave.jp/qa2909881.html

No.1 回答者： tent-m8 回答日時： 2007/08/04 17:58

式の転記ミスか、とんちクイズではないでしょうか。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
それは無いと思います。
数学者の特集でしたから。

お礼日時：2007/08/04 17:59