No.1
- 回答日時:
>質問(1)すべての多様体には位相が入っているのでしょうか?
Yes. そもそも多様体は位相空間の一種
>質問(2)例えば「2次元ユークリッド空間内の円x^2+y^2=1を考える」といった時点ですでに位相は入っているのでしょうか?
Yes. 普通はR^2からの相対位相が入っている
========
一つの集合に対して
一般には複数の位相が入ります.
集合によっては
うまーく位相を入れることができれば
位相多様体になるし,もっとうまーくできれば
微分可能多様体なり複素多様体なりになることもあります.
異なる位相をいれたつもりでも,
実は同じになったりすることもあれば,
ほんとうに全く異なることもあります.
#最近話題になった「ポアンカレ問題」はこの近辺のお話です.
この回答へのお礼
お礼日時:2007/09/21 00:17
なるほど・・・ありがとうございます。
「ある集合に対して異なる位相の与え方をすれば、異なる多様体になりえる」という具体的な例は何かありませんか?書くのが大変でしたら参考文献だけでもありがたいです。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>「ある集合に対して異なる位相の与え方をすれば、異なる多様体になりえる」という具体的な例
多分一番有名と思われる論文をあげておきます.
位相多様体としては同じだが微分可能多様体としては
同じではない例です.
John W. Milnor,
On manifolds homeomorphic to the 7-sphere,
Ann. Math., 64, 1956, pp.399--405
大学生でしょうから,
興味があれば先生に聞くのがよいでしょう.
「ミルナーのエキゾチックな7次元球面の論文」と
微分幾何方面の先生にいえばたぶん通じます.
これを読むための基礎知識についても
アドバイスしてくれるかもしれません.
#もっと初等的な例が思いつけばいいのですが,
#この論文,難解だとおもいます
多様体の位相構造・微分構造に関しては
東大の松本幸夫先生の一連の「四次元のトポロジー」の
記事の中にはもっと読みやすいものがあるかもしれません.
このあたり「四次元」だけ特異であることが知られており,
R^4だけでもいろいろあるはずです
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