数学の問題

数学の問題がと解けないので教えてくください。
問題は以下の2題です。よろしくお願いします。

(1)　2進法で1011011である数を、(1011011)2 で表すときこの数を5進法で表せ。

(2)　n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)
　　になることを照明せよ。

No.3 ベストアンサー 回答者： i536 回答日時： 2002/08/21 17:14

(1)

【２進数⇒１０進数】
1011011
=1*2^6 +0* 2^5 + 1*2^4 + 1*2^3 + 0*2^2 * 1*2^1 * 1*2^0
=64+0+16+8+0+2+1
=91.

【１０進数⇒５進数】
91/5=18余り1、18/5=3余り3,　3/5=0あまり3,　0/5=0 余り0

したがって、91=(331)5.

(2)
n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)は既知と仮定します。
すると、A∪B∪C=(A∪B)∪Cと考えて、この式を繰り返し適用するとできます。

n(A∪B∪C)
=n((A∪B)∪C)
=n(A∪B)+n(C)-n((A∪B)∩C)
=n(A∪B)+n(C)-n((A∩C)∪(B∩C))
=n(A)+n(B)-n(A∩B)+n(C)-(n(A∩C)+n(B∩C)-n((A∩C)∩(B∩C)))
=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(A∩C)-n(B∩C)+n(A∩B∩C).

No.5 回答者： puni2 回答日時： 2002/08/24 02:48

少し補足しておきます。

（ちなみに「照明」ではなく「証明」ですね？）
(2)は中学入試で出てきますね（集合の記号は使わないにしても）。確かに，図で考えれば小学生でも解けるでしょう。

以下，証明というより説明になります。（証明は既に出ていますね）
まず先に，n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)の説明をしておきましょう。
AとBのわっかが一部重なっている図を描きます。この時，Aの要素の数とBの要素の数をそのまま足したのでは，AとBの両方に属している要素は2回数えられていることになるので，1回分ひいてやります。
この，ダブルカウントを引いてやる部分が-n(A∩B)ということになりますね。

同様に，こんどはA, B, Cの三つの輪が重なっている図を描きます。
ちょうど，家紋の「三つ輪違い」（参考URL）のような絵になります。
先ほどと同様に考えていきます。
まず，単純にそれぞれの集合の要素数を足します。
n(A)+n(B)+n(C)
これだと例によってダブルカウントがあるので，それらを引いていきます。
-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)
ところが，これだと中央の部分，つまりABCの全てに属している部分は，n(A)+n(B)+n(C)のときに3回カウントされて，-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)のところで3回ひかれているので，結局カウントに入らなくなってしまいます。
そこで，改めて1回分数えてやるわけです。これが+n(A∩B∩C)になります。

参考URL：http://www.tobu.co.jp/kiriori/img/kamon/y-059.jpg

No.4 回答者： tak2006 回答日時： 2002/08/21 22:51

No.2のものです。

すいません計算間違いしてました。

No.2 回答者： tak2006 回答日時： 2002/08/21 17:10

(1)

(1011011)2
=2^6+2^4+2^3+2^1+2^0　　　←^6,^4,...は6乗,4乗,...
=64+16+8+2+1
=(155)10
これを5で割っていく
155÷5=31余り0
31÷5=6余り1
6÷5=1余り1
1÷5=0余り1
余りの数を逆から数えていくと答えは(1110)5となります。


(2)
A∪B∪C AかBかCであればいいということなので
n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)
でいいのかなと思ってしまいますが
A且つBである、B且つCである、C且つAである、A且つB且つCである
という部分がかぶってしまいます(図を描けばわかります)。
よって、n(A)+n(B)+n(C)からかぶっている部分
n(A∩B)、n(B∩C)、n(C∩A)、n(A∩B∩C)
を抜かないといけないので、
n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)
となります.
後は自分なりに考えてまとめてみてください。

No.1 回答者： Singollo 回答日時： 2002/08/21 17:02

2)はnが定義されていないので1)だけ

5=(101)2
(1011011)2/(101)2=(10010)2...1
(10010)2/(101)2=(11)...(11)2
(11)2=3だから
(1011011)2=(331)5