Lagrangeの未定乗数法

例えば、これは熱力学のところで出てくる式ですが、
　　　　　ΣδN_j[ln(V_j/N_j)-1]=0　(※)
に対して、
δN=ΣδN_j=0 (※※)
という制限をつけたときに(※※)に未定乗数λをかけて(※)に加えますよね。
だったら、別にλじゃなくてもなんらかの数字例えば3をかけて加えてもいいんじゃないかと思ってしまうんですが、そうするとあとあと他の条件
　　　　　　　　 N=ΣN_j
からλを決定する必要が無くなりλ=3に勝手に決まってしまいおかしなことになってしまいます。これなら最初に
(※※)でかける数字によってλの値が一つに決められて何通りもの答えが出てきてしまいます。
　教えて頂きたいのは数学的な部分で何故、(※※)に未定乗数をかけて加えてよくて、何故数字をかけて加えてはいけないのかという理由です。そんなの当たり前だと思われるかも知れませんがよく分からないのでお願いします。

No.1 回答者： spinflip 回答日時： 2002/11/01 01:04

f(x,y,z...)の極値を、制限g(x,y,z...)=0のもとで求める際に、

代わりに、f+λgという新しい関数を制限なしで、
極値を求めればOKというのがラグランジュの未定乗数法ですね。
この、新しい関数の極値を制限無しで求めるために偏微分すると、
(d/dx)f=-λ(d/dx)g
(d/dy)f=-λ(d/dy)g
(d/dz)f=-λ(d/dz)g
:
という一連の方程式が得られます。この左辺を
ベクトルだと思うと、これはfのグラジエントです。
fのグラジエントとは、fをポテンシャルだと思えば、
そのポテンシャルの中におかれた質点に働く力になります。
特に変数が三つの場合は、∇fですから、力学で教わった通り、
ポテンシャルによる力です(但し方向は逆ですが)。
変数が三つ以外の場合でも多次元空間での仮想的な力と
みなすことができます。

一方、右辺もベクトルだと思うと、これは、
曲線を表す方程式g=0の偏微分ですから、その曲線の
法線(曲線に直交する線)となります。(これはご存知ないかも
知れませんが、たとえば、x^2+y^2-1=0という曲線の
法線は、左辺を偏微分して並べたベクトル(2x,2y)になっています)。

すると、ラグランジュの未定定数法のビジュアルなイメージは、
猿が、ある曲線g=0にぶらさがって、すいすいとポテンシャルfの
中を動いている様子になります。ですから、猿が止まる点は、
猿に働く力が、曲線と直交する所、すなわち法線と平行に
なる所、になります。

このように、二つのベクトルが平行になれば良い(一致しなく
とも良い)のですから、その比例係数は「未定」なのです。

この回答への補足

＞一方、右辺もベクトルだと思うと、これは、曲線を表す方程式g=0の偏微分ですから、その曲線の法線(曲線に直交する線)となります。(これはご存知ないかも知れませんが、たとえば、x^2+y^2-1=0という曲線の法線は、左辺を偏微分して並べたベクトル(2x,2y)になっています)。
こんな事初めて知りました！でもどうしてそうなるんですか？質問とはずれますが説明可能ならよろしくお願いします。

補足日時：2002/11/02 02:37

この回答へのお礼

ありがとうございました。この一見無味乾燥そうな数式にこんな図形的なイメージを当てはめることが出来るんですね。

お礼日時：2002/11/02 02:37

No.2 回答者： nubou 回答日時： 2002/11/01 13:05

ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）がｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０という条件付で（ａ，ｂ，ｃ）で極値をもつとき

∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＝λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＝λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ
である（ただし偏微分可能性等は暗黙の前提とする）
の場合について説明する

（ａ，ｂ，ｃ）から
∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｓ＝０・・・（１）
を満たすように線分を引き線分の長さをｓとし線分の先を
（α（ｓ），β（ｓ），γ（ｓ））とし
ｐ＝ｄα（０）／ｄｓ，ｑ＝ｄβ（０）／ｄｓ，ｒ＝ｄγ（０）／ｄｓ
とする

ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）がｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０という条件付で（ａ，ｂ，ｃ）で極値を持つから
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｓ＝０・・・（２）

（１）より
ｐ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＋ｑ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＋ｒ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０・・・（３）

（２）より
ｐ・∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＋ｑ・∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＋ｒ・∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０・・・（４）

∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＝∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＝∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０
ならばｐ，ｑ，ｒは任意に取れるから
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＝∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＝∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０
でなければならない

∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ≠０ならば
任意のｑ，ｒにたいして（３）をみたすようなｐが存在し
（∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ）／（∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ）＝λとすると
（４）－（３）×λより
（∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ）・ｑ＋
（∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ）・ｒ＝０
ｑとｒは任意に設定できるから
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＝０
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０

いずれにしても
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＝０
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＝０
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０

これはいずれも必要条件であって十分条件でない
極値の候補をすべて網羅できるが中には極値でないものもあるので
別の手段で検証しなければならない

なお
Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）－λ・ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）
とすると
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＝０
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＝０
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０
ｇ（ａ，ｂ，ｃ）＝０
は
∂Ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＝０
∂Ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＝０
∂Ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０
∂Ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂λ＝０
とみなすことができる

多少煩雑になるが変数が４以上のとき条件式が２以上のときも上記から推察できる

この回答へのお礼

ありがとうございます。
(１）よりｐ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＋ｑ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＋ｒ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０・・・（３）
と変形できるのがよく分からないです。

お礼日時：2002/11/02 16:02

No.3 回答者： nubou 回答日時： 2002/11/01 13:36

ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）がｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０という条件付で（ａ，ｂ，ｃ）で極値をもつとき

実数λがあって
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＝λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＝λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ
である（ただし偏微分可能性等は暗黙の前提とする）
の場合について説明する

（ａ，ｂ，ｃ）から
∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｓ＝０・・・（１）
を満たすように線分を引き線分の長さをｓとし線分の先を
（α（ｓ），β（ｓ），γ（ｓ））とし
ｐ＝ｄα（０）／ｄｓ，ｑ＝ｄβ（０）／ｄｓ，ｒ＝ｄγ（０）／ｄｓ
とする

ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）がｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０という条件付で（ａ，ｂ，ｃ）で極値を持つから
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｓ＝０・・・（２）

（１）より
ｐ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＋ｑ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＋ｒ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０・・・（３）

（２）より
ｐ・∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＋ｑ・∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＋ｒ・∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０・・・（４）

∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＝∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＝∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０
ならばｐ，ｑ，ｒは任意に取れるから
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＝∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＝∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０
でなければならない

∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ≠０ならば
任意のｑ，ｒにたいして（３）をみたすようなｐが存在し
（∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ）／（∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ）＝λとすると
（４）－（３）×λより
（∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ）・ｑ＋
（∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ）・ｒ＝０
ｑとｒは任意に設定できるから
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＝０
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０

いずれにしても
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＝０
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＝０
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０

これはいずれも必要条件であって十分条件でない
極値の候補をすべて網羅できるが中には極値でないものもあるので
別の手段で検証しなければならない

なお
Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ,λ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）－λ・ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）
とすると
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＝０
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＝０
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０
ｇ（ａ，ｂ，ｃ）＝０
は
∂Ｆ（ａ，ｂ，ｃ，λ）／∂ｘ＝０
∂Ｆ（ａ，ｂ，ｃ，λ）／∂ｙ＝０
∂Ｆ（ａ，ｂ，ｃ，λ）／∂ｚ＝０
∂Ｆ（ａ，ｂ，ｃ，λ）／∂λ＝０
とみなすことができる

多少煩雑になるが変数が４以上のとき条件式が２以上のときも上記から推察できる

この回答へのお礼

ありがとうございます。同じのを間違えて送ってしまったのでしょうか！？Lagrangeの未定係数法は(物理学の本では未定乗数法と書いてある)微分積分の本では、証明も書いてありλは任意でなくきちんと決まるのは分かるんですけど、物理学の本で、単純にλをかけて加えているのでよく分からないんですよね。

お礼日時：2002/11/02 16:10

No.4 回答者： physicist_naka 回答日時： 2002/11/01 19:01

とりあえずなぜλのかわりに決まった数をかけてはいけないかを

説明します。

f(x,y,z...)の極値を、制限g(x,y,z...)=0のもとで求めるとし
ましょう。
そして、λ＝３と、固定して考えてみることにしましょう。
すると、ｇ＝０という条件付きでｈ＝ｆ－３ｇの極値を求めることに
なります。これ自身間違いではありません。
しかし、そのためにはどうするかを考えてみましょう。
　　∂ｈ／∂ｘ＝０
　　∂ｈ／∂ｙ＝０
　　∂ｈ／∂ｚ＝０
　　・・・
などとやってはいないでしょうか？これは間違いですね。
このやり方は条件なしのときのやり方です。
これでは条件なしでｈの極値を求めることになり、そのときの
ｘ、ｙ、ｚ・・・が求まります。
さらにこれにｇ＝０という条件を付ければ一般に解なしとなって
しまいますね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
＞しかし、そのためにはどうするかを考えてみましょう。
　　∂ｈ／∂ｘ＝０
　　∂ｈ／∂ｙ＝０
　　∂ｈ／∂ｚ＝０
　　・・・
などとやってはいないでしょうか？これは間違いですね。
このやり方は条件なしのときのやり方です。
これでは条件なしでｈの極値を求めることになり、そのときの
ｘ、ｙ、ｚ・・・が求まります。
さらにこれにｇ＝０という条件を付ければ一般に解なしとなって
しまいますね。
これは分かりました。しかし、これがλの代わりに決まった数をかけてはいけないという説明になっているというのが分からないのでよろしくお願いします。

お礼日時：2002/11/02 16:23

No.5 回答者： nubou 回答日時： 2002/11/01 19:16

ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）がｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０という条件付で（ａ，ｂ，ｃ）で極値をもつとき

実数λがあって
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＝λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＝λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ
である（ただし偏微分可能性等は暗黙の前提とする）
の場合について説明する

（ａ，ｂ，ｃ）から長さがｓの（α（ｓ），β（ｓ），γ（ｓ））への線分で
［ｄｇ（α（ｓ），β（ｓ），γ（ｓ））／ｄｓ］（ｓ＝０）＝０・・・（１）
を満たすものを引き
ｐ＝ｄα（０）／ｄｓ，ｑ＝ｄβ（０）／ｄｓ，ｒ＝ｄγ（０）／ｄｓ
とする
（１）において線分の方向はその方向に（ｘ，ｙ，ｚ）が進めば｜ｓ｜が小さいときｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０であることを意味する

ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）がｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０という条件付で（ａ，ｂ，ｃ）で極値を持つから
［ｄｆ（α（ｓ），β（ｓ），γ（ｓ））／ｄｓ］（ｓ＝０）＝０・・・（２）

（１）より
ｐ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＋ｑ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＋ｒ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０・・・（３）

（２）より
ｐ・∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＋ｑ・∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＋ｒ・∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０・・・（４）

∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＝∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＝∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０
ならばｐ，ｑ，ｒは任意に取れるから
（ｐ，ｑ，ｒ）＝（１，０，０）＆（０，１，０）＆（０，０，１）として
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＝∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＝∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０
でなければならない

∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ≠０ならば
任意のｑ，ｒにたいして（３）をみたすようなｐが存在し
（∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ）／（∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ）＝λとすると
（４）－（３）×λより
（∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ）・ｑ＋
（∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ）・ｒ＝０
ｑとｒは任意に設定できるから
（ｑ，ｒ）＝（１，０）及び（ｑ，ｒ）＝（０，１）として
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＝０
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０

∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ≠０のときも同様にできる
∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ≠０のときも同様にできる

いずれにしても
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＝０
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＝０
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０

これはいずれも必要条件であって十分条件でない
極値の候補をすべて網羅できるが中には極値でないものもあるので
別の手段で検証しなければならない

なお
Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ,λ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）－λ・ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）
とすると
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＝０
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＝０
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０
ｇ（ａ，ｂ，ｃ）＝０
を満足する点（ａ，ｂ，ｃ）は
∂Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ,λ）／∂ｘ＝０
∂Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ,λ）／∂ｙ＝０
∂Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ,λ）／∂ｚ＝０
∂Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ,λ）／∂λ＝０
を解くことによって求まる

変数が３以上のときにはたやすく拡張できる
変数が３以上で条件式が２以上のときには（３）式が増えるが
偏微分行列のランクごとに場合わけして証明することになる
線形代数の知識が要るが手順は同じようになる

この回答へのお礼

ありがとうございます。
＞変数が３以上のときにはたやすく拡張できる
変数が３以上で条件式が２以上のときには（３）式が増えるが偏微分行列のランクごとに場合わけして証明することになる
線形代数の知識が要るが手順は同じようになる
偏微分行列？知らないです。高度ですね。現在の自分の数学の知識ではついていけそうにないですm(__)m

お礼日時：2002/11/02 21:06

No.6 回答者： nubou 回答日時： 2002/11/01 21:43

Lagrangeの未定乗数法とは偏微分可能性等つまらない条件はさておき

「ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）がｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０という条件付で（ａ，ｂ，ｃ）で極値をもつとき
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＝λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＝λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ
を満たす実数λが存在する」
です

だからλは任意に決めていいのではなく一般的には定まるのです」
「適当な」λであって「任意の」λではないのです

「一般的には」の意味はｇ（ｘ，ｙ，ｚ）が不適当な関数の場合にはλが不定のばあいすなわち任意の実数でも良い場合もあるということです

実際証明の過程で∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ≠０のとき
λ＝（∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ）／（∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ）
となったでしょう

λを任意に決めていいのは
∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＝∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＝∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０
のときだけです

∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＝λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＝λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ
ｇ（ａ，ｂ，ｃ）＝０

において
未知数はａ，ｂ，ｃ，λであり式は４つだから
一般には解いた結果としてλは決まるのです

λを勝手に決めるというのは連立方程式
ｘ＋ｙ＝１
２ｘ＋３ｙ＝３
を解くときに解く前にｙ＝５とするのと同じです

この回答へのお礼

ありがとうございます。
＞λを勝手に決めるというのは連立方程式
ｘ＋ｙ＝１
２ｘ＋３ｙ＝３
を解くときに解く前にｙ＝５とするのと同じです。
この例は分かりやすいですね。

お礼日時：2002/11/02 19:55

No.7 回答者： spinflip 回答日時： 2002/11/02 16:06

#1です。

束縛曲線をg(x,y)=0として、x,yから曲線上を少し
(dx,dy)方向に動いたとすると、曲線上を動くのです
から、
g(x+dx,y+dy)=0
は保たれています(ですから、dxとdyは任意ですが、
それぞれ独立ではありません)。
これを展開すると、
(d/dx)g(x,y)・dx＋(d/dy)g(x,y)・dy＝0
∴((d/dx)g(x,y),(d/dy)g(x,y))・(dx,dy)＝0
と、なり、曲線の接線方向(dx,dy)と直交しています。

この回答への補足

お礼のところに書き込んだ質問の回答よろしくお願いします。

補足日時：2002/11/02 20:58

この回答へのお礼

ありがとうございます。分かりました！
でも
　(d/dx)g(x,y)・dx＋(d/dy)g(x,y)・dy＝0
の式って
　(∂/∂x)g(x,y)・dx＋(∂/∂y)g(x,y)・dy＝0
っていう意味ですよね？

お礼日時：2002/11/02 16:33

No.8 ベストアンサー 回答者： physicist_naka 回答日時： 2002/11/02 17:18

No.4のものです。

> これは分かりました。しかし、これがλの代わりに決まった数をかけて
> はいけないという説明になっているというのが分からないのでよろしく
> お願いします。

ｈ＝ｆ－３ｇの極値を求めるにはどうしますか？
　　∂ｈ／∂ｘ＝０
　　∂ｈ／∂ｙ＝０
　　∂ｈ／∂ｚ＝０
　　・・・
としますよね。でもこれで決まるｘ、ｙ、ｚ・・・はｈ＝ｆ－３ｇの極値
を与えてもｇ＝０を満たすとは限りませんね。
ですからこのやり方ではまずいです。
それともこういう意味でしょうか。
λ＝３のとき、このやり方がまずいならλのままでもまずいのでは
ということでしょうか。これはつまりこういうことです。
　　∂ｈ／∂ｘ＝０
　　∂ｈ／∂ｙ＝０
　　∂ｈ／∂ｚ＝０
　　・・・
というやり方で、ｈ＝ｆ－λｇの極値を与えますが、このやり方で
出てくるｘ、ｙ、ｚ・・・（λの関数）がｇ＝０を満たすように
λを決めておけばいいですね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。分かりました！！そういう意味の説明だったんですね！
微分積分を含む式では普通の代数式と違って単純に何かをかけて加えるとその数字によって式の表す内容が変わってくるんですね。
つまり、例えば
x+y=1 (1)
x+2y=3 (2)
という連立方程式では(2)の式に例えば3をかけて加えてもxとyの数値に変化はないけれども、
このような微分を含む関数ではかける数字によって
x,yの数値が変わってくるというような事ですね？

お礼日時：2002/11/02 19:50

No.9 回答者： nubou 回答日時： 2002/11/02 17:42

(１）よりｐ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＋ｑ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＋ｒ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０・・・（３）

と変形できるのがよく分からないです：

ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）において
ｘ＝α（ｓ），ｙ＝β（ｓ），ｘ＝γ（ｓ）であるから合成関数の微分から
ｄｇ（α（ｓ），β（ｓ），γ（ｓ））／ｄｓ＝
（∂ｇ（α（ｓ），β（ｓ），γ（ｓ））／∂ｘ）・（ｄα（ｓ）／ｄｓ）＋
（∂ｇ（α（ｓ），β（ｓ），γ（ｓ））／∂ｙ）・（ｄβ（ｓ）／ｄｓ）＋
（∂ｇ（α（ｓ），β（ｓ），γ（ｓ））／∂ｚ）・（ｄγ（ｓ）／ｄｓ）
です
ｓ＝０とすれば
ａ＝α（０），ｂ＝β（０），ｃ＝γ（０）であり
ｐ＝ｄα（０）／ｄｓ，ｑ＝ｄβ（０）／ｄｓ，ｒ＝ｄγ（０）／ｄｓであるから
ｐ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＋ｑ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＋ｒ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０
となるのです

ありがとうございます。同じのを間違えて送ってしまったのでしょうか！？Lagrangeの未定係数法は(物理学の本では未定乗数法と書いてある)微分積分の本では、証明も書いてありλは任意でなくきちんと決まるのは分かるんですけど、物理学の本で、単純にλをかけて加えているのでよく分からないんですよね。：

大体分かるので再送する必要がなかったかもしれません
前記証明は
「ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０という条件付でｆ（ｘ，ｙ，ｚ）が（ａ，ｂ，ｃ）で極値になるならば（ａ，ｂ，ｃ）においてｇ（ｘ，ｙ，ｘ）＝０が保たれる方向にｆ（ｘ，ｙ，ｚ）を微分したら０になる」
を条件化しただけです

微分可能性はさておき
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）がｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０という条件付で（ａ，ｂ，ｃ）で極値をもつとき 実数λがあって
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＝λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＝λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ
である

厳密性を問わずより分かりやすくするための再送
α（ｓ）＝ｐ・ｓ＋ａとし
β（ｓ）＝ｑ・ｓ＋ｂとし
γ（ｓ）＝ｒ・ｓ＋ｃとする
ただしｐ，ｑ，ｒは
［ｄｇ（α（ｓ），β（ｓ），γ（ｓ））／ｄｓ］（ｓ＝０）＝０・・・（１）
を満たすものとする
すると｜ｓ｜が十分小さいとき
ｇ（α（ｓ），β（ｓ），γ（ｓ））≒０である
すなわち直線（α（ｓ），β（ｓ），γ（ｓ））は（ａ，ｂ，ｃ）でｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０を保つ方向を向いている

すると
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）がｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０という条件付で（ａ，ｂ，ｃ）で極値を持つのなら
［ｄｆ（α（ｓ），β（ｓ），γ（ｓ））／ｄｓ］（ｓ＝０）＝０・・・（２）
でなければならない

（１）より
ｐ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＋ｑ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＋ｒ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０・・・（３）
（２）より
ｐ・∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＋ｑ・∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＋ｒ・∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０・・・（４）

もし
∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＝∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＝∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０
ならば（１）すなわち（３）を満たすｐ，ｑ，ｒは任意に取れるから
（ｐ，ｑ，ｒ）＝（１，０，０）＆（０，１，０）＆（０，０，１）として
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＝∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＝∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０
でなければならない
（これは条件が不適当で条件が有効に機能していない場合である）

∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ≠０ならば
任意のｑ，ｒにたいして（１）すなわち（３）をみたすようなｐが存在し
（∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ）／（∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ）＝λとすると
（４）－（３）×λより
（∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ）・ｑ＋
（∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ）・ｒ＝０
ｑとｒは任意に設定できるから
（ｑ，ｒ）＝（１，０）及び（ｑ，ｒ）＝（０，１）として
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＝０
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０

∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ≠０のときも同様にできる
∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ≠０のときも同様にできる

いずれにしても
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＝０
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＝０
∂ｆ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ－λ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０

この回答へのお礼

細かく説明して下さりありがとうございます。
しかし、論理のところで
＞（ｐ，ｑ，ｒ）＝（１，０，０）＆（０，１，０）＆（０，０，１）として
＞（ｑ，ｒ）＝（１，０）及び（ｑ，ｒ）＝（０，１）として
としていますが、こうやって考えてはいけないのではないでしょうか？
例えば、a(x-1)+b(y-2)=0という式があってこれが任意のa,bに対して成り立つためには
　　　x-1=0かつy-2=0
とするのであって、
(a,b)=(1,0),(0,1)として導かれるものではないですよね？
この他の部分は理解できました。

お礼日時：2002/11/02 19:12

No.10 回答者： nubou 回答日時： 2002/11/02 20:22

（ｑ，ｒ）＝（１，０）及び（ｑ，ｒ）＝（０，１）として

としていますが、こうやって考えてはいけないのではないでしょうか？:

ｐ，ｑ，ｒの条件は（１）すなわち（３）を満たすことであるから
ｐ，ｑ，ｒは
ｐ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ＋ｑ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＋ｒ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ＝０
を満たす
∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ≠０ならば ｑ，ｒがどんな値であっても
ｐ＝－（ｑ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｙ＋ｒ・∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｚ）／（∂ｇ（ａ，ｂ，ｃ）／∂ｘ）
とすれば（３）を満たすことになる
だから（ｑ，ｒ）＝（１，０）としても（ｑ，ｒ）＝（０，１）としてもよい

初版では（ｑ，ｒ）に代入しないで（ｑ，ｒ）が任意で（３）が成立しないといけないのだからその係数は０であるとしたが丁寧にするために具体値を入れたのだが裏目に出たようです
入れないで理解できるのであればそれに越したことはありません
入れても問題ないのは分かると思います



ラグランジュ法は必要条件であって十分条件ではないので
例えばｙ＝ｘ＾３がｘ＝０での微分係数が０だからといってｘ＝０で極値を持つとは限らないのと同じように
この方法で求められた点が極値であるかどうかは別の手段によらなければなりません
しかし極値の候補が絞られるので非常に有効です
しかも候補といってもほとんど極値です

この回答へのお礼

分かりやすくするために無理にそうしてくれたんですね。
ありがとうございますm(__)m
もう皆さんのおかげでほとんど分かってきました。nubouさんは数学の専門家なのでしょうか。高度な数学を自由に使いこなせて、関心してしまいます。

お礼日時：2002/11/02 20:56