和訳お願いします．

ちょっと長いですが，和訳お願いします．分かりにくい単語の意味は
下に書いておきました．特に第２文目のIFがダブルで来ているところが
意味わかりません．よろしくおねがいします．

The MLS approximation is well defined only when the
matrix A in Eq. (20) is non-singular. It can be seen that
this is the case if and only if the rank of P equals m.
A necessary condition for a well-defined MLS approximation
is that at least m weight functions are non-zero (i.e.
n ＞m) for each sample point X∈Ω and that the nodes in
Ωx will not be arranged in a special pattern such as on a
straight line. Here a sample point may be a nodal point
under consideration or a quadrature point.

MLS approximation 　　　移動最小自乗法近似
matrix A in Eq. (20)　　方程式（20）でのA行列
singular　　　　　　　　　単位行列
the rank of P equals m　Pのランクがmに等しい
weight functions 　　　　重み関数
node　　　　　　　　　　　節点
n ＞m，X∈Ω，Ωx　などの記号はそのままでお願いします．

No.5 ベストアンサー 回答者： nikorin 回答日時： 2002/11/12 18:29

あ！こないだのfulikuliさんですね。

勉強は進んでおられますでしょうか？
私もちょっとアドバイスさせていただきます。

"well defined" や "if and only if" は数学でよく用いられる言い方です。

"well defined"は「よく定義されている」（後々の議論が矛盾なくきちんと展開できるように定義されている）
という意味で、ぴったりした日本語がないので、そのまま「well defined」
と言ってしまいます。

"if and only if"はすでに回答があるように、A if and only if B で
B のとき、かつそのときに限り A である…という意味です。
A は B と同値である、とも訳されます。

それと、もう数点ほど。

mickjey2さんが言われているとおり、singularは単位行列を意味しません。
ここでは non singular な matrix ですから、
非特異行列＝正則行列、です。（detA≠0）

ご存知かもしれませんが、i.e. はラテン語"id est"の略で、すなわち（="That is"）
の意です。

quadrature pointって積分点のこと…ですよね？（自信なし）

思いつくまま書き散らしてしまいました。すみません。
では。(＾＾)/~

No.4 回答者： noname#11476 回答日時： 2002/11/12 18:26

少し用語を補足しておきます。

単位行列(対角要素のみ1,あとは0) : identity maxtrix
全部1の行列 : unit matrix
singular : これそのものは 「特異」と訳します。
singular matrix : 特異行列
determinant : 行列式

quadrature : これは厄介で、私の知っている quadrature だと quadrature point という形では意味がつながらないので、お示しの論文中のquadratureの適当な日本語訳は分かりません。

No.3 回答者： fushigichan 回答日時： 2002/11/12 17:54

こんにちは。

＞The MLS approximation is well defined only when the
matrix A in Eq. (20) is non-singular.

この移動最小自乗法近似は、方程式（20）でのA行列 が単位行列でないときのみ、定義されている。

＞It can be seen that
this is the case if and only if the rank of P equals m.

これは、Ｐのランクがｍに等しいときのみ起こりうる。

＞A necessary condition for a well-defined MLS approximation
is that at least m weight functions are non-zero (i.e.
n ＞m) for each sample point X∈Ω and that the nodes in
Ωx will not be arranged in a special pattern such as on a
straight line.

MLS approximation が定義されることの必要条件は、ｎ＞ｍであることより、
少なくともｍの重み関数がX∈Ωのそれぞれの点において、０でないことが必要である。
そして、Ωx のなかのノードは、例えば一直線のようには配置されない。

＞Here a sample point may be a nodal point
under consideration or a quadrature point.


さて、このサンプルとなる点であるが、今討議中のノードになるか、
またはquadrature な点となるかである。

quadrangle　　　正方形、長方形
quadrangular　　四角形の、四辺形の


こんなかんじでしょうか。
お役に立てば幸いです。

No.2 回答者： kibinago 回答日時： 2002/11/12 17:54

専門でないのでわかりませんので、全訳は控えます。

ただ、if and only if というのは定義のときとかしょっちゅうでてくる
表現なので、必須だと思います。
A　if and only if B
で、直訳が
「BのときそしてそのときのみA（が成り立つ）」
です。なので、
「Pのrankがｍと等しいとき、そしてそのときのみ、これが成り立つことが
見られ得る」みたいのが直訳でしょうか（ひどい訳だけど）。
これ以外はそんな難しくない英文なので（内容が難しいのかもしれませんが）、
なんとかなると思います。

No.1 回答者： noname#11476 回答日時： 2002/11/12 17:36

学術論文は基本的に英語なので、今後のことも考えると自分自身で苦労して訳した方がよいと思いますよ。

一度自分で方程式などと突き合わせて訳して見て、それでよいかどうかをここで聞くと良いと思いますよ。（数学とかそのほか理系の学問のカテゴリのほうが適切かもしれませんが）

まず勘違いを訂正しておきます。
singlar は単位行列ではありません。日本語では「特異行列」といいます。
特異行列が何であるか分からなければ線形代数の本を読んでください。

で、Aが非特異行列である条件について、
It can be seen that this is the case if and only if the rank of P equals m.
の文で説明されているわけです。
行列 P のランクがmに等しく、また唯一そのときのみ matrix A は非特異行列になるといっているのです。

後はがんばってください。