グリーン関数（連立常微分方程式）について

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質問者：b_bb
質問日時：2008/06/09 02:56
回答数：1件

お世話になっております。
グリーン関数を連立常微分方程式を解くような解法でやっていたら、参考書の解答と一か所異なる場所が出たのですが、よくわからなかったので質問させていただきます。

問題：
uはxのみの関数であり
-u'' +a^2 u = f(x)
B.C. u(0) =α u(L)=β
のとき、u(x)を求めよ。

解答：
連立常微分方程式として変形すると
U=[u u']T (ただしTは転置のT)
M=[-a 0]
[0 a] （ただしM=2*2の行列
P=[1 1]
[-a a] （ただしP=2*2の行列
V=[v1 v2]T
U=PV
とすると
与式は
V'= MV + P-1[0 -f(x)]T
= MV + f(x)/2a [1 -1]T
すなわち
v1' = -av1 + f(x)/2a
v2' = av2 - f(x)/2a
となります。
ここまでは僕の解答と参考書のそれは一致してます。

以降簡単のためv1のみ議論の対象とさせていただきます。
【参考書では】
v1= C1e^-ax + e^-ax∫(e^ay/2a)f(y)dy 積分区間0 to x
となっております。
もちろんこのあとVからUに変換して、B.C.考えてu(x)を求めますが、これ以降は大丈夫そうなので割愛させていただきます。

【僕がやった解答は】
http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/biseki/no …
を用いたのですが、つまり
v1' = -av1 の同次形の答えをz1(=C1e^-ax)としますと
v1=w(x) z1と仮定して
v1' = -av1 + f(x)/2aに代入すると
w'= f(x)/(2az1)
が出るので
w=∫f(x)/(2az1) dx + C2 (不定積分)
ゆえに
v1 = wz1 = C3e^-ax + e^-ax∫(e^ax/2a)f(x)dx　（不定積分）
となり、参考書のものと異なってしまいます。
積分の文字事態は別にどうでもいいということは理解してますが
∫(e^ay/2a)f(y)dy 積分区間0 to x
∫(e^ax/2a)f(x)dx とは全く別物ですよね？

どなたか、どこが間違っているのかご指摘して願えませんか？
どうかよろしくお願いいたします。