球の展開について

球をできるだけ円と同じ形になるよう展開し二次元にすると（面積は同じ）どんな風になるのですか？
また参考になるＵＲＬなども教えていただけたら嬉しいです

二次元にするととかわけのわからないこといってしまってすいません。

No.1 ベストアンサー 回答者： cosmos-kt 回答日時： 2008/08/28 23:26

地図作成などで使われている、ユニバーサル・メルカトル図法と同じになります。

昔は、横メルカトル図法と呼ばれていましたが、各国で作成する基本地形図の投影図法を同じにすることになったので、現在ではそのように呼ばれています。

ユニバーサル・メルカトル図法は、メルカトル図法などで検索すれば出てきますよ。

No.2 回答者： kup3kup3 回答日時： 2008/08/29 00:15

今晩は。

質問は「球面を面積が変わらず歪みもなく二次元の平面上に展開する」
・・・(*)と推測しました。
球とありますが「球面」のことですね？
半径rの球面の表面積は　４πr^2で、半径Rの円の面積はπR^2です。
数学的にいうと
半径rの球面のいわゆる「ガウス曲率K」は一定で「Ｋ＝1/(r^2)」
で正の数です。一方二次元の平面はこの曲率ＫはK=0です。
今簡単のために「半径rの球面をS(r)」とかき、二次元の平面をT」
します。質問の(*)は
写像　f:S(r)　→T　で「距離を保つもの」つまり「等距離写像」をみつけて
その像　f(S(r)）の形を調べよ。ということになりますが、
「このようなfは存在しないのです。」それは
「等距離写像」⇒「ガウス曲率は変わらない」ということが証明される
（これはガウスによって初めて証明された？）ので、
このようなfがあったら二次元平面上のその像　f(S(r)）
（これは平面の一部なのでガウス曲率は0のはずです　）
のガウス曲率が0のはずなのに正の1/(r^2)となり、おかしくなってしまうからです。
◎
以上は数学的なことです。球面のままでは展開図はこのようにできませんが、球面を赤道面で
２つに切って、半球面を２つ造る。
（軟式のテニスのボールを半分にきったものをイメージしてください）
それぞれを無理矢理に二次元平面上に貼りつけてから、それぞれの赤道同士だけを
くっつければよいのですが、うまくできそうにありません。
遠くにおいた点光源Pからテーブルにおいたボールへ光を
当ててみると影ができますが、影は一般にはだ円になるでしょう。
点光源Pから光のあてようでは、少し離れたスクリーンに移せば、大きな円になって面積は
増加します。点光源で無ければテーブルにおいたボールを真正面から見たときは円になりますが
面積は　πr^2に減ってしまいます。次に
テーブルにおいたミカンから北極Nの「へた」の1点を除いたものを考えます。
これを風呂敷を広げる様に皮をむいてテーブルの上におき、これに切り取った「へた」をどっかにおけば
よいのでしょうか。
と、いうわけで「球面全体」のいわゆる展開図はできません。
この球面を地球と思えば、展開は地球の地図を造ることになります。
それで、「地球全体」を「1つの地図として表すことはできません。」
でも「地球の一部分」ならそれなりに地図ができます。
なんとか正確な「地球全体」の情報を再現しようとして
さまざまな特徴をもつ地図が考えられました。それで、
地図の種類に「メルカトル図法」とか「モルワイデ図法」とか「グード図法」とか「サムソン図法」とか、
考えられたのです。　　
曲げたり、歪めたりしてもよいとして、やって行くのが
トポロジーという数学の分野です。