二次関数＆整数

nを正の整数、aを実数とする。全ての整数mに対して
m^2-(a-1)m+an^2/(2n+1)>0
が成り立つようなaの範囲をnを用いて表せ。　(1997　東大理類)

上の問題で、以下のように解いてみました。
「c=n^2/(2n+1)とおく。
f(x)=x^2+x
g(x)=ax-ca
とおき、xが整数全体を動くとき常にf(x)>g(x)であるようなaの範囲を求める。

(ⅰ)a=0のとき
g(x)=0より、y=f(x)とy=g(x)はx=-1,0で交わり不適。
よってy=g(x)は軸に平行でない直線であり、また、
y=ax-ca⇔(x-c)a-y=0
これより、y=g(x)はaの値によらず定点(c,0)を通る。……(1)

(ⅱ)a<0のとき
y=f(x)は下に凸の放物線でy=g(x)は傾き負の直線であるから(1)と合わせて、ある整数xでf(x)<g(x)となり不適。

(ⅲ)a>0のとき
h(x)=f(x)-g(x)とおく。(h(x)=0の判別式をDとする)
まず、D<0は条件を満たす。
D=(a-1)^2-4ca>0
⇔1/(2n+1)<a<2n+1　」

…と、ここまでは出来ましたが、残る(ⅳ)0<a≦1/(2n+1)と(ⅴ)2n+1≦aの場合の検証がわかりません。グラフを用いた図形的解法でいきたいのですが、どなたか教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2008/11/13 17:23

＞グラフを用いた図形的解法でいきたいのですが、

c＝n^2/(2n+1)とおく。但し、c＞0.
そうすると、題意の不等式は　m＾2＋m＞a(m-c)となるから、my平面上で放物線：y＝m＾2＋mが直線：y＝a(m-c)より常に上にある条件を求める事になる。
放物線のm＝kにおける接線：y＝(2k+1)(m-k)＋(k＾2＋k)‥‥(1)が点(c、0)を通る時のkの値は(k＞0は明らかだろう)計算すると、(1)から都合のいい事に、k＝nとなる。
つまり、放物線：y＝m＾2＋m上の全ての格子点が直線：y＝a(m-c)より上にあるのは、0＜a＜2n+1の時。

この問題は、接点が格子点になるように作ってあるから、つまらない問題になっている。

私なら、次のように解く。
m＝0の場合からa＞0を先ず導く。そして、m＾2＋m≧0であるから、a＜(m＾2＋m)/(m-c)　(但し、m-c＞0)として、右辺のmの関数の最小値を求める。
微分を使えば、m＝nで最小値は2n+1になる。

この回答へのお礼

なるほど！接点のx座標が必ず整数になるから、あとは直線の傾き(=a)の場合分けだけですんでしまうんですね。
ご解答ありがとうございました！

お礼日時：2008/11/17 23:24