初期値問題

α＞０としたとき

ｙ’=｜ｙ｜α乗　，ｙ（０）=　０

の解が一意的に存在するための必要十分条件がα≧１であることを示せ。


という問題の考え方を教えてください。

お願いします！

No.3 回答者： gef00675 回答日時： 2008/11/18 00:52

> ０＜α＜１の場合はどうやって答えだすのですか？

そのときは、方程式はリプシッツ条件を満たしません。すると、どういうことがおこるかというと、初期条件y(0)=0を指定したとしても、いろいろな解がでてきてしまいます。次の関数を実際に微分して解になっていることを確かめてください。

(1) ｙ＝０（恒等的に０）

(2) 1/(-α+1)*y^(-α+1)=x　　　（0＜α＜１）

(3)　ｘを増加させたとき、はじめうちはｙ＝０だが、
　　途中から(2)の曲線に変わるようなもの。すなわち、
　　　　ｙ＝０　　　　　　　　　（０＜ｘ＜ｂ）
　　　 ｙ＝{(1-α)(x-b)}^{1/(1-α)} （ｂ≦ｘ）

いずれも、y(0)=0を満たし、かつ、方程式の解になっています。
このように、０＜α＜１のときは、解が一意的に決まらないのです。

この回答へのお礼

わかりやすい説明ありがとうございました！

おかげさまで解けました。
助かりました！

お礼日時：2008/11/18 11:50

No.2 回答者： gef00675 回答日時： 2008/11/13 20:47

訂正です。

後段

逆に、α≧1のときにy(0)=0を満たす解が存在するとすれば、
その関数は、ｙ＝０（恒等的に０）以外はありえません。
なぜなら、もしｙ＝０でなければ、ｙは
1/(-α+1)*y^(-α+1)=x+定数　（α＞１のとき）
または、
log(y)=x+定数　（α＝１のとき）
の形でなければならず、
どちらの式もy(0)=0を満たすことはないからです。

この回答へのお礼

遅くなってすいません。
回答ありがとうございました。


この場合α≧１の場合はわかったのですが，

０＜α＜１の場合はどうやって答えだすのですか？

追加ですが，お願いできないでしょうか？？

お礼日時：2008/11/17 22:27

No.1 回答者： gef00675 回答日時： 2008/11/13 20:18

リプシッツ条件ですね。

f(y)=|y|^αとかくことにすると、
この問題のリプシッツ条件は、
ある定数Ｋがあって、(x,y)=(0,0)の近傍の２点(x,y1),(x,y2)で
|f(y1)-f(y2)|≦K|y1-y2|
が成り立つこと。この条件が成り立てば、
解が一意的に存在します。（解の存在定理です）
そのためには、方程式の形から、α≧1であることが必要です。

逆に、α≧1のときにy(0)=0を満たす解が存在するとすれば、
その関数は、ｙ＝０（恒等的に０）以外はありえません。
なぜなら、もしｙ＝０でなければ、ｙは1/(-α+1)*y^(-α+1)=x+定数
の形でなければならず、この式がy(0)=0となることは
ないからです。