漸化式の問題

確率の問題を解いていてマルコフチェーンを使う問題がありました。
そこで出た関係式は
A(n+1)=1/2{C(n)+D(n)}
B(n+1)=1/2{A(n)+D(n)}
C(n+1)=1/2{A(n)+B(n)}
D(n+1)=1/2{B(n)+C(n)}
A(1)=D(1)=0
B(1)=C(1)=1/2です。
ここからどうやってこの漸化式を解くことができますか？

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/11/26 17:40

努力と根性で A のみを使った漸化式を導いてもいいし, 適当な行列のべきを求めてもいいし, 好きな方法で処理してください.

No.2 回答者： ojisan7 回答日時： 2008/11/26 17:56

行列を使えば、超～簡単ですね。

あとは、ご自分で考えてください。

この回答への補足

行列でやろうとすると、4行4列になってしまいますが、そこからどうすれば良いでしょうか？
2行2列なら固有値を使ってn乗の一般項を求めることができますが、4行4列はまず逆行列の出し方もわかりません。

補足日時：2008/11/26 21:16

No.3 回答者： ojisan7 回答日時： 2008/11/27 00:07

４行４列も、２行２列と本質的に同じです。

まず、固有値を求めましょう。固有値に複素数が含まれていても気にしないでください。行列は対角化可能ですか。対角化できたら固有ベクトルを求めます。（もし、対角化できなければ、ジョルダン標準型にしなければなりませんが、そこまで習っていませんね。）変換行列Pも求めておきましょう。ここまでできれば、容易に解答へ導かれます。
逆行列の出し方は重要ですが、このような場で簡単に説明することはできません。教科書やネットで調べて下さい。

一言感想を述べさせていただくと、行列を知らないとこの問題はちょっときついですね。線形代数の参考書を読んで、基本的な事項を学べば、いろいろな場面で、応用の範囲が広がると思います。がんばってください。

No.4 回答者： gef00675 回答日時： 2008/11/27 04:36

固有方程式を計算したところ、

　x^4 + x^3 - (1/2)x -1/2 = 0
となりました。固有値は、0, 1, と複素数２つになります。
　固有値１に対応する固有空間は
　A(n)+B(n)+C(n)+D(n)=1
で、これは全確率が１であることを言っているだけです。
　固有値０に対応する固有空間は
　A(n)-B(n)+C(n)-D(n)=0
で、これも元の関係式からすぐにわかります。
　あとは、複素固有値に対応する固有空間を計算すれば、このマルコフ連鎖の挙動が完全にわかります。固有値の絶対値から判断して、どうやら一定の確率に近づいていくようですね。
　質問者さんは、４×４行列の逆行列の計算のしかたを知らないとのことですが、上の２つの関係を使って、２×２行列に還元すれば自力でできませんか？

No.5 回答者： gef00675 回答日時： 2008/11/27 04:46

＃４です。

ごめんなさい。書き間違えました。

＞固有方程式を計算したところ、
誤＞　x^4 + x^3 - (1/2)x -1/2 = 0

正＞　x^4 - (1/2)x^2 -(1/2)x = 0

でした。因数に分解すると、x(x-1)(x^2+(1/2)x+1/2)=0です。