原子量を求める計算の定理

高１です。

各元素の同位体の相対質量の【平均値】が原子量ということですが、

原子量＝(相対質量x存在比/100)+(相対質量+存在比/100)

なぜこのような計算になるのかがわかりません。

難しい質問かもしれないですが、お願いします。

No.6 回答者： htms42 回答日時： 2009/01/04 12:54

すでにたくさん回答が出てます。

気になったことを書きます。

＞各元素の同位体の相対質量の【平均値】が原子量ということですが、

＞原子量＝(相対質量x存在比/100)+(相対質量+存在比/100)

＞なぜこのような計算になるのかがわかりません。

平均値になるということは分かっておられるのですか
平均値であるということは分かっているが平均値の求め方が分からないのですか。
相対質量とか存在比とかの言葉が分からないのですか。

平均という言葉を知らないはずはありません。テストがある度に平均点を話題にしています。科目ごとのクラス平均を出したり、平均点で順位を考えたりしているのですから平均の出し方も心得ているはずです。

ここに書いてあるような平均の求め方と自分が思っている平均の求め方とが違っているということではないですか。

塩素の２つの同位体、３５Ｃｌと３７Ｃｌから塩素の原子量を求める練習をすると必ず３５と３７の平均は３６ではないのかという質問が返ってきます。存在比なんてわけの分からない量がどうして必要なのですかという質問です。
あなたもこういう風に考えていたのではないですか。

３５の塩素と３７の塩素が何個ずつあるのかという数が決まらないと平均は決まらないというのを今までの回答は説明しています。
でもご自分でテストの点の場合にでも置きなおして考えることも出来るはずです。

疑問に思った一番の中心は何かということをハッキリさせれば解きほぐす手がかりは見つかるはずです。ただ全体が分からないと言っていては手がかりは得られません。

あなたの知っている平均値とここで言っている平均値との違いについて書いてみます。

クラス平均を求める時は出席番号にしたがって
１番～点、２番～点、・・・と足していきます。総得点を出して人数で割ります。存在比なんて出てきません。同点がある場合もない場合もおなじ計算をしています。これは中学生でも平均を出す時には使っている方法です。
この求め方が頭から離れないのです。

でも別の方法もあります。
点数が５点と１０点の２つしかなかったとします。
同じ数が何度も出てきます。総得点は１番から全部足していくという方法でなくても求めることが出来ます。５点の人の人数と１０点の人の人数を調べておいて
５×（５点の人数）＋１０×（１０点の人数）を計算すれば総得点が求められます。全部足すよりは楽ですね。
これを全体の人数で割れば平均点が求められます。
平均点＝総得点／全体の人数
　　　＝(５×(５点の人数＋１０×（１０点の人数))/全体の人数
　　　＝５×(５点の人数)／全体の人数＋１０×（１０点の人数)/全体の人数
です。
ここで出てくる(５点の人数）／全体の人数、（１０点の人数)/全体の人数というのは割合になりますね。これが存在比です。

同じ値が何度もでてくる場合に平均を出す時はこの方法をよく使います。数が多くて割合しか分からない時にはこの方法しか使うことが出来ません。原子の数はとんでもなく大きいですから割合でしか表すことが出来ません。十分よくかき混ぜられていてどの場所でサンプルをとっても同じ割合になっていると考えられます。

No.5 回答者： rukuku 回答日時： 2009/01/03 17:33

続きです。

この先はちょっと確率統計的な話になります。
赤いボール３個と青いボールが７個の「割合で」ボールがあります。
赤いボールは１個１０３ｇです。青いボールは１個１０５グラムです。
質量の平均は何ｇですか？

このときは
『赤いボール３個と青いボールが７個の「割合で」ボールがあります。』
の部分の数式化の仕方が違ってきます。
先ほどは、赤いボール３こ青いボール７個の計「１０個」という全体の数が分かっていました。
しかし、この質問の場合全体の数は分かりません。とりあえず「N」としておきます。

また、
赤いボールの存在率＝Aka
青いボールの存在率＝Ao
とします。
　…このような話で「変数」や「文字式」を嫌いにならないでくだ
　　さい。
　　この先同じ言葉がタクサン出てくるので「省略」しているだけ
　　です。

　　また、ちょっと前にでた「N」やこの後に出てくる「n」のよう
　　に具体的な数値が分からないからとりあえず適当な文字で「代
　　用」しておくという場合もあります。


まず、
「存在率」の定義より
Aka + Ao =1 …(1)
となります。
また、
赤いボール３個と青いボールが７個の「割合で」という条件から
N × Aka =3n …(2)
N × Ao =7n …(3)
という式が成り立ちます。ｎは具体的な数値が分からないので「とりあえず」“ｎ”としておきます

後は中学で習った連立方程式の問題です。
(2)と(3)から
N(Aka + Ao) = 10n …(4)
が得られます。
(1)と(4)から
N=10n …(5)
となります。

(5)と(2)、(3)より
Aka=3/10
Ao =7/10
であることが分かります。


ここで、最初の質問に戻ります。
平均の質量＝（１０３×赤のボールの数　＋ １０５　×青のボールの数）／N
です。
　＝（１０３×N×Aka + １０５×N×Ao）／N
　＝１０３×Aka ＋ １０５×Ao
です。
変数を定義に戻すと
　＝１０３× 赤いボールの存在率＋ １０５×青いボールの存在率
になります。



－－－－
と解答しましたが、これまで「こんなの当たり前～」としてあまり深くは考えませんでした。
この質問に回答するのに、中学校の数学を使って解説するのにずいぶん苦労しました。

教科書に出ている式をただ覚えるのではなく、その意味を考えるというのはすご～く大事だと思いますよ。

p(^^)q

この回答へのお礼

丁寧でわかりやすい回答ありがとうございます！

>教科書に出ている式を・・・

僕もそう思います！それが本質ですよね

ありがとうございました。

お礼日時：2009/01/03 22:50

No.4 回答者： fjnobu 回答日時： 2009/01/03 17:04

式が間違えているようですね。

＞原子量＝(相対質量x存在比/100)+(相対質量+存在比/100)
後ろの（　　）の中の＋はxのミスでしょう。尚、（　　）の数は２つのみでなく同位元素の数だけあるのが正しいと思います。

No.3 回答者： rukuku 回答日時： 2009/01/03 15:51

はじめまして

数式だけ最初に教えられても分かりませんよね。

「/100」は単に「存在比」がパーセント表されているときに必要なだけです。以下の説明では、全体を１としたときの「存在率」で表します。
原子量＝相対質量x存在率 + 相対質量+存在率

「原子量」という言葉はちょっとおいといて、例えば以下のような例に置き換えてみてください。
赤いボール３個と青いボールが７個の、計１０個のボールがあります。
赤いボールは１個１０３ｇです。青いボールは１個１０５グラムです。
質量の平均は何ｇですか？

ならば
(１０３×３＋１０５×７)／１０
と計算できます。
ちょっと式を変形すると
１０３×(３／１０) ＋ １０５×(７／１０)
となります。

ここまで、OKですか？

No.2 回答者： ojisan7 回答日時： 2009/01/03 15:49

こんにちは。

これは、物理の問題と言うよりは、算数・数学の問題です。
「相対質量」というのは炭素原子C^12の質量を12としたときの、相対質量ですね。そして、「存在比」は各同位体に占めるその元素の存在比（存在確率）を百分率（％）で表したものですね。だとすると、原子量は、各元素の同位体の相対質量の【平均値】になります。計算方法は学級の生徒の平均体重の求め方と同じです。

たとえば、ある元素の存在比をPi％、質量 をmiとしたとき、質量の平均（原子量）はどうなるでしょうか。(ただし、i=1,2,3・・・n)

答えは、Σ{i=1～n}mi*Pi/100

ですよね。これは質問者さんが書いた式と同じです。もっと分かりやすく言えば、平均はすべての合計を個数で割ったものですが、度数分布表を見て平均値を計算するにはどうすれば良いかを考えればはっきりするのではないかと思います。Σ{(得点）×(相対度数or確率)}が平均点になりますよね。

ご参考までに。

No.1 回答者： kt1965 回答日時： 2009/01/03 15:34

多分、800文字で全てを説明することは不可能なので、探求してみてください。

百科事典の同位体の項目
http://jp.encarta.msn.com/encyclopedia_761575299 …
同位体を専門的に研究している人々のホームページ
http://coe.nucl.nagoya-u.ac.jp/

とりあえず、いえることは、現在はIUPAPの決議に基づく定義として、原子量と相対質量の関係を定めているということです。

原子量＝（相対質量×存在比/100）+（相対質量×存在比/100）「同位体1」+（相対質量×存在比/100）「同位体2」+・・
というのが本当の式です。

同位体というのは、陽子数が同じで、中性子数が違う原子のこと。陽子数に対して、中性子数の違う原子は沢山存在します。