数学的帰納法

数学の問題で分からないところがあったので教えて頂きたいです。

N >= 1 について　N < 2^N(2のN乗) が成り立つことを数学的帰納法を用いて照明せよ。

初期段階と帰納段階で
初期段階はわかるのですが
帰納段階が良く分かりません。

よろしくお願いします。

No.2 回答者： fukuda-h 回答日時： 2009/06/08 22:51

N=k+1のときを不等式の証明みたいに差をとればどうでしょう

k<2^kが成り立つことを仮定する
2^(k+1)-(k+1)=2・2^k-ｋ-1＞2・ｋ-ｋ-1＝ｋ-1≧0より
(k+1)<2^(k+1)　
よってＮ＝ｋ+1のときも成り立つ

この回答へのお礼

ありがとうございました＾＾

これで帰納法はたぶんばっちりです。

お礼日時：2009/06/09 02:04

No.1 回答者： tksmsysh 回答日時： 2009/06/08 22:46

「N≧1においてN<2^N」…(1)

N=kのとき(1)が成り立つと仮定する。
N=k+1のときを考える。

2^(k+1)-(k+1)
=2*2^k-(k+1) (注)*は「かける」
>2k-(k+1)　 (仮定より)
=k-1≧0 (k≧1より)
よって、k+1<2^(k+1)であり、N=k+1のときも成り立つ。

数学的帰納法のポイントは、仮定を如何に利用するか、です。

この回答へのお礼

ほんとにありがとうございました。

なぞはすべて解けました。

ありがとうございました！！！

お礼日時：2009/06/09 02:03