人口増加率の問題

次のような問題が入試の過去問で出ていました。
数学というより算数？と思いながらも、全くわからず困っています。

・ある国の人口は、1960年には2000万人だったが、2000年には4000万人に倍増した。人口の増加率が一定だったとすれば、1980年の時点での人口はどの程度であったと考えられるか。

という問題です。
増加率自体がよくわからず、手がつけられません…
なにかアドバイスいただけると助かります。よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： yumitsuki 回答日時： 2009/07/14 18:20

人口増加「率」なので、掛け算で考えます。

40年で2倍のとき、20年でA倍と置くと、A^2=2となります。
つまり、
1960年に2000万、
1980年に2000万×A、
2000年に2000万×A×A＝4000万
という具合です。

したがって、
A＝√2＝約1.414が得られ、
1980年における人口は
2000万×A＝約2828万人
になると思われます。

No.8 回答者： nattocurry 回答日時： 2009/07/15 11:21

人口増加率が一定で、1960年から1980年も、1980年から2000年も、同じく20年間なので、20年間の人口増加率をAとすると、

1960年の人口×A＝1980年の人口
1980年の人口×A＝2000年の人口

という2つの式が成り立ちます。

1960年の人口は2000万人で、2000年の人口は4000万人なので、

2000万人×A＝1980年の人口
1980年の人口×A＝4000万人

となります。

あとは、この二元二次方程式を解くだけです。

No.7 回答者： Willyt 回答日時： 2009/07/14 21:33

通常、人口増加率は利息で言えば福利計算になります。

増加率が年２倍なら２年後には４倍、３年後には８倍になります。従って人口増加率をｒとすると　２０００万×（１＋ｒ）^40 ＝４０００万という式から増加率ｒを計算します。この式は（１＋ｒ）^40＝２となりますから
１＋ｒ＝２の４０乗根＝１．０１７４８　つまり年増加率は１．７４８％となります。
すると１９８０年、つまり２０年後の人口は
２０００万×１．０１７４８の２０乗＝２，８２８万人というのが答えになります。
言い替えれば２０００万×（１＋ｒ）＾20＝２０００万×√２ということになります。

No.6 回答者： sanori 回答日時： 2009/07/14 19:29

こんばんは。

１年の増加率をａ、１９８０年での人口をｘと置けば、
２０００万　×　（１＋ａ）^(2000-1960)　＝　４０００万　・・・（あ）
２０００万　×　（１＋ａ）^(1980-1960)　＝　ｘ　・・・（い）

整理して、
（１＋ａ）^40　＝　２　　・・・（あ’）
２０００万　×　（１＋ａ）^20　＝　ｘ　・・・（い’）

ここで、（１＋ａ）^20　＝　ｂ　と置けば、
（１＋ａ）^40　＝　（１＋ａ）^(20×2)　＝　｛（１＋ａ）^20｝^2　＝　ｂ^2

よって、
ｂ^2　＝　２　　・・・（あ’’）
２０００万　×　ｂ　＝　ｘ　・・・（い’’）
と書き直せます。
（これが、Ｎｏ．３様とＮｏ．４様がおっしゃっている、「２０年が２回」の意味です。）

ｂ＞０　なので、（あ’’）より、
ｂ　＝　√２

これを（い’’）に代入して、
ｘ　＝　２０００万　×　√２

電卓に√のボタンがあれば求まります。

こういう電卓もありますが、

http://www.google.co.jp/search?hl=ja&safe=off&q= …

http://www.google.co.jp/search?hl=ja&safe=off&q= …


入試の過去問ということであり、「どの程度であったと考えられるか。」という問題ですから、
「２０年が２回」で２倍になったということで、
元の人口（２０００万）に、１．４をかければ十分です。
（おそらく、√２　のだいたいの値を知っているものとして出題しているのだと思います。）


以上、ご参考になりましたら幸いです。

No.5 回答者： denden321 回答日時： 2009/07/14 18:23

＞人口の増加率が一定だったとすれば

　増加数ではなく増加率なので１番の方の解き方では不正解ということになりますね。

　自分の頭では
　（１＋Ｘ）の４０乗＝２　としか答えられません。

　Windowsに入っている関数電卓を使ったら
　増加率は約１．７５％と出ましたが
　さすがに電卓を使うのは反則ですねｗ

No.4 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/07/14 18:20

通常、増加率というと例えば1年のスパンで人口が何%増えたかで考えます。

1年につき10%の増加なら1年で1.1倍になっていますので、2年で1.2^2=1.21倍、3年で1.1^3=1.331倍、10年で1.1^10=2.59倍になります。

今回の問題の場合、40年で2倍の増加率(100%/40年、決して約分してはいけません)の場合、20年での増加率はいくらか、というとです。

20年でx倍になるとすると、40年は20年が2回ですのでx^2倍になります。
つまり40年で2倍ならx^2=2,x~√2倍ということです。

No.2 回答者： uzaku 回答日時： 2009/07/14 18:20

増加率は、一定の割合で増える確率です。

(例)水が１分間に２㎗ずつ蒸発する

なので、これは
1960年に2000万人→2000年に4000万人
なので
2000万→(　　　　)→4000万
と考えればいいんです

頑張ってください

No.1 回答者： sky-plane 回答日時： 2009/07/14 17:56

人口増加率は人口の増え方です。

この問題では1960年に2000万人で2000年に4000万人になっています。

つまり、40年間で2000万人増えたことになります。ここで、増え方が一定なので2000万÷40をすれば1年間にどれだけの人口が増えたのかがわかります。

これを計算すると50万になります。つまり、1年間の人口増加率（人口の増え方）は50万人になります。

それが分かれば簡単です。

1980年は1960年の20年後なので50万×20をすれば1980年の時の人口が1960年に比べてどれだけ増えたかがわかります。

答えは1000万になります。これは、1960年に比べて1980年では1000万人増えたことになります。

そうすれば1960年の人口＋増えた分をすれば良いので

2000万＋1000万＝3000万

答えは3000万人になります。

分からないところがありましたらご報告お願いします。