No.5ベストアンサー
- 回答日時:
円柱の定義として、「中心線に対して、同じ距離に存在する点の集合」とします。
円柱の中心線Lを考える。
切断面と、円柱の中心線の交点をPとする。
ここで、円柱を切断してできる楕円の弧上に存在する点Qで、
PQとLが、垂直であるものが存在する。
(∵切断面が、円柱に直角だった場合は自明。
円柱に直角で無い場合、Lに対して鋭角になる点と、鈍角になる点が存在する。
楕円弧上を点Qが連続して動く場合、鋭角から鈍角に移行するので、ちょうど直角になる点が存在する。
これは解析の方の中間値の定理より言える)
PQ⊥Lであることから、PQの長さはLとQの距離に等しい。
(証明は略。三平方の定理より導出可能)
よって、PQの長さは円柱の半径rに等しい。
中心線からrの距離にある点が楕円の中に存在することは証明できたと思います。
あとはこれが楕円の短径に一致することを言えばいいのですが、
他の点がPからLに対し鋭角もしくは鈍角であることを使えば
出るでしょう。
No.3
- 回答日時:
domo2domoさん、こんにちは。
今、底面の半径rの円柱があるとします。
この円柱を、ある角度で、すぱっと切るとします。
すると、竹つつみたいな立体になりますよね。
この、竹つつの、高さの、一番長い部分の長さをh、
一番短い部分の長さをlとすると、
この竹つつの断面積は、横から見れば、上底l、下底h、
高さは底面の半径の倍の2rの台形になります。
さて、この竹つつを、前から見て、90度、回転させてください。
そうすると、竹つつの、短径が底面の直径と同じ長さになっているのが分かると思います。
No.2
- 回答日時:
短径は、常に円柱の円の半径と同じだからではないでしょうか。
円柱を真横から見た図を描いて、適当な角度で切ってみて、長径と短径がどこにあるのか見つければ分かると思います。
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