立方体のボール数

すみません。あまり数学が得意ではないのですが
1辺が1ｍの箱(立方体)の中に、直径1ｃｍ(0.01m)のボール(球)がいくつ(数)入るのでしょうか？
あと、直径10cm(0.1cm)のボールの場合は？

また、直径が変わっても式があればボール(球)の数が出せられると思いますが、それはどういった式になるのでしょうか？

知ってる方は教えて頂くと有り難いです。
よろしく、お願いします。

No.5 回答者： okormazd 回答日時： 2009/12/04 14:30

面心立方格子の最密充填とすると、次のようになります。

一辺あたりの最密充填格子の数をnとすれば、
格子点(球)の数Sは、
S=(n+1)(4n^2+2n+1)
となるでしょう。n=1,2,3・・・などとして数えてみてください。
質問の場合、球の直径をdとすると、単位格子の一辺は√(2)dです。
立方体の一辺をlとすれば、この中に入る格子の数は、
n=(l-d)/(√(2)d)
です。
したがって、l=1m、d=0.01mとすれば、
n=0.99/(√(2)*0.01)=70.00357134
端数は意味が無いから、n=70としてSを求めると、
s=(70+1)*(4*70^2+2*70+1)=1401611個
になります。

No.4 回答者： kotokototo 回答日時： 2009/12/04 13:02

入れ物の辺の長さと内容物の直径にこんなにも差があると

簡単な式では出せないです。

高校化学で出てくる面心立方格子構造や六方最密充填構造は
1つの球の周りに12個の球が接していて、
その充填率は74%となっています。

ビー玉と接着剤などで試すとわかりますが、
12個というのはまだ余裕があります。
13個目をくっつけることができるのかどうかという問題は長い間未解決で
つい10年くらい前にコンピュータを用いて解決したくらいです。

↓のサイトの絵のように0、1、2、8、24次元の接吻数は格子状にきれいに並ぶのですが、
3次元はあまりきれいでなく、現在確定しているなかでは3次元が一番最後に決定しました。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A5%E5%90%BB% …

最密充填構造で箱の中に積んでいき、
最後に箱をガサガサと揺すって不規則な並びにすると
1個くらいなら入ってしまう気がします。
その1個が入らないことを証明するためには、
おそらくコンピュータの力を借りることになると思います。

No.3 回答者： 86tarou 回答日時： 2009/12/04 11:25

一番底には１列100個、99個、100個…と隙間を詰めるように並べるとボールの間隔は（√３）／２（約0.866）cmになります。

これで１段目は11,443個（100個×58列＋99個×57列）並ぶことになります。２段目は逆に99個、100個、99個…と隙間を埋めるように入れていきます。この時の上下間隔（ピッチ）も（√３）／２ですので、115段並ぶことになります。ということで、1,315,945個（11,443個×115段）が正解ではないでしょうか。
あまり自信はないですが… ＾＾；

No.2 回答者： Cupper 回答日時： 2009/12/04 10:58

数式を教えてくれると手っ取り早いと思っているでしょうが、それでは【理解】にならないので…

ボール３つで三角形を作った時に占める面積を計算しましょう
さらにその上に１つ乗せたボール４つで作る三角錐の高さを求めましょう
あとは、その三角錐を上下に並べた時にどれだけ沈み込むかを計算すればOK

ちょっと面倒ですけど、こんな方法で計算することになります

No.1 回答者： FEX2053 回答日時： 2009/12/04 10:50

100×100×100で、一応はきっちり詰まって動かなくなりますので、

それが答えと言えないことも無いんですが・・・。

要は、２次元的に考えるのか３次元的に考えるのかなので、３次元的に
三角錐がどれだけ入るか、という命題だと、構造体を想定して一つずつ
数えるしか無いんじゃないかと思います。ですので、簡単に答えを得る
方法はないかと。