平面図形の正射影

球面x＾2+y＾2+（z-1）＾２＝１［1］かつy＝2z［2］で表される図形のxz平面への正射影の方程式はどうして［1］［2］からyを消去したら得ることができるのでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/12/16 15:37

x^2+y^2+(z-1)^2=1　…［1］

y=2z　…［2］
[1]の球面と[2}の平面の交線としての図形は円（円周の曲線）…(◆)
になりますが、
3次元では曲線は、一般に曲面と曲面（平面を含む）の交線として表されます。

なので　[2]　を　[1]　に代入して得られる
x^2+4z^2+(z-1)^2=1
整理して
5x^2+25(z-1/5)^2=1 …[3]
(◆)の円（円周の曲線）は
[2]の平面と[3]の曲面（楕円柱）の交線としてしての
別の等価な表現もできるのです。

つまり、(◆)の円（円周の曲線）は[3]の曲面（楕円柱の表面曲面）上にある曲線なので、その曲線のxz平面への正射影は[3]の曲面の正射影と完全に重なります。
なので、
>［1］［2］からyを消去したら得ることができるのでしょうか。
[1]と[2]の交線が作る曲線(◆)と[1]と[3]の交線が作る曲線は同一なので
正射影は[3]とy=0(xz平面)の交線として表されます。
[1]と[2]からyを消去して得られる[3]は正射影ではなく、y=0の平面との交線として与えられます。
なお、[3]はx,zだけの式ですが、3次元ではyは任意の実数ということですので、y軸に平行な曲面になります。今の場合は[3]式で示した楕円柱（円柱表面の曲面）になります。

この回答へのお礼

つまり、［1］∧［2］⇔［2］∧［3］と同値変形して、［3］とy＝0平面との交線として考える。ということですね。
疑問が完全に解決しました。有り難うございました。

お礼日時：2009/12/16 18:23

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/12/16 15:08

両方を満たす点の集合は

{ (x, y, z) | x^2 + y^2 + (z-1)^2 = 1, y = 2z }
ですが, これと
{ (x, y, z) | x^2 + (2z)^2 + (z-1)^2 = 1, y = 2z }
は同じものを表します. そして, これを xz平面に正射影すると得られる点の集合は
{ (x, 0, z) | x^2 + (2z)^2 + (z-1)^2 = 1, y = 2z }
ですが, よくみると y は不要です.