No.3ベストアンサー
- 回答日時:
#1です。
arcsinとか、arccosというのは、三角関数の逆関数ですが
難しく考えなくても、三角関数表の見方は習っていると思いますので
解けると思います。
ただし、きっちりとした数字にならない場合は、近似値になりますが・・
また、参考までに
arcsinというのは、sinθの値が、そうなるようなθを求める、ということです。
例えば、
sinπ/2=1ですが、arcsinθ=1となるθ=π/2(0≦θ≦2π)
sinπ/4=1/√2ですが、arcsinθ=1/√2となるθ=π/4,3π/4
となるように求めます。
sinθやcosθが、その値になるようなθを求めることは
知らず知らずのうちに、普段でも使っていると思います。
計算で、θが求まらない場合は、三角関数表を使って
sinθやcosθが、そのような値になっている角度を求めることができます。
No.4
- 回答日時:
回答は出ていますが参考程度に
原点中心、半径rの円のa(0<a<r)からrまでの積分 S=∫[a→r]√(r^2-x^2)dx
を計算する場合は、x=r の時に面積がπr^2/2 になることは自明ですから、
S=πr^2/2-2*∫[0→a]√(r^2-x^2)dx
とするほうが簡便ですね。
(x/r)<1 で展開すれば、
√(r^2-x^2)=r*{1-(x/r)^2}^(1/2)
=r*{1-(1/2)(x/r)^2+(1/8)(x/r)^4-・・・}
≒r*{1-(1/2)(x/r)^2}
4乗以降の項は誤差として処理できますね。
∫[0→a]√(r^2-x^2)dx=rx*{1-(1/3*2)(x/r)^2}
=ra*{1-(1/3*2)(a/r)^2}
だから
S=πr^2/2-2ra{1-(1/6)(a/r)^2}
として求める方法はありますね。
No.1
- 回答日時:
ONEONEさん、こんにちは。
軌跡の問題では条件が足りなくてすみませんでした。
今回は頑張ってみたいと思います。
まず、原点中心、半径rの円の面積の求め方は
x^2+y^2=r^2
y=±√(r^2-x^2)
ですから、円の面積の求め方は
∫[-r→r]√(r^2-x^2)dx-∫[-r→r]-√(r^2-x^2)dx
=2∫[-r→r]√(r^2-x^2)dx
=4∫[0→r]√(r^2-x^2)dx・・・(☆)
ここで、x=rsinθとおくと、
dx=rcosθdθ
(☆)=4∫[0→Π/2]rcosθ*rcodθdθ
=4r^2∫[0→Π/2]cos^2θdθ
=2r^2∫[0→Π/2](1+cos2θ)dθ
=2r^2[θ+sin2θ/2]
=Πr^2
のように求められます。
ですから、x=rsinθとおくと、
x=rのとき、θ=Π/2
x=aのとき、sinθ=a/rより、θ=arcsin(a/r)
となるので、これを使えば
S=∫[a→r]√(r^2-x^2) ←これはy座標が0以上の部分ですが
=∫[arcsin(a/r)→Π/2]r^2cos^2θdθ
=r^2/2∫[arcsin(a/r)→Π/2](1+cos2θ)dθ
によって求められると思います。
一般的に、スッキリした数値になるかは別として求められますね。
ご参考になればうれしいです。
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