円周角の疑問

円周角・・・円周角（えんしゅうかく）とは、ユークリッド幾何学においてある円周上の一点から、この点を含まない円周上の異なる 二点へそれぞれ線分を引くとき、その二つの線分のなす角のことである。

中心角・・・円周上のある異なる２点と中心との線分のなす角

中心と円周角の関係は一つの孤に対する「円周角」の大きさは，「中心角」の半分になります。
つまり、円の弧の両端から円周上の点に向かって線を引くと，角ができます。これを孤に対する円周角という。
そして、この角は同じ孤に対する中心角の１/2となるということです。

ここで疑問です。 交わっている部分をそれぞれ、Ｂ，Ｄとします。
下の図（汚くてすいません）で、孤ＢＤに対する円周角は当然、黄緑の角です。
ですが、孤ＢＤに対する中心角はピンクの角と青い角です。
「そして、この角は同じ孤に対する中心角の１/2となるということです」という説明より、ピンクの角と青い角は同じＢＤに対する中心角なので、それぞれ黄緑の角の２倍ということになってしまいすよね。

このように、説明が簡潔すぎて混乱しています。
この説明を丁寧に教えてほしいです。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2010/02/15 21:56

円周角は青とすれば中心角は濃い青色の角です。

ピンクは360度-中心角です。
最初からややこしい絵を描くから間違えます。円周角が鋭角の場合を考えてください。

No.2 回答者： youmath 回答日時： 2010/02/15 22:10

あなたの図で黄緑の角の点をA中心をOとしましょう

まずAとOを線で結んでください
このとき直線AOが円と交わるAでない方の点をCとしておきます

そうすると△ABO、△ADOとふたつの二等辺三角形ができます(二辺が半径)
よって∠OAB=∠OBA,∠OAD=∠ODA
外角の定理より
∠COB=∠OAB+∠OBA=2∠OAB,
∠COD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD,

よって、2∠BAD(∠OAB+∠OAD)=∠BOD(∠COB+∠COD)
となり中心角が二倍になることが示されました

また図で言うピンクの角は長いほうの孤BDにA点をとると円周角の二倍になります
図では短い方のBDにA点をとっているため青い角が中心角となりますね


円周角を鋭角に設定すればより解りやすいでしょう

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/02/15 23:16

「弧BD」というときに 2つあることに気づかなければならない.

ちなみに「黄緑」ってどれ?

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2010/02/16 14:47

「中心角」とは、いったい何だったか、

定義を復習してください。

黄緑の円周角と同じ弧の上に立つ中心角は、
青のほうだけです。ピンクの角は、違います。

この回答への補足

中心角
弧の両端を通る2つの半径の作る角を中心角という
と書かれていました。
この定義にのったると、２つの半径が作る角というのはピンクの角と青の角両方ですよね。（なぜなら、結ばれることによって角ができているから）
そうすすると、例えば、弧ＡＢというものがあったとします。
弧ＡＢは優弧と劣弧で種類は２つそれに対して定義より、優弧から見て
弧の両端を通る2つの半径の作る角を中心角なので、２つ中心角があることになっちゃいませんか？？

補足日時：2010/02/16 17:46

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2010/02/16 19:34

その「定義」は、マズイですね。

そういった不正確な定義を、
貴方のように杓子定規に解釈しようとすれば、
当然、齟齬が生じます。

円周 C 上の弧 AB に対する中心角とは、
C の中心を頂点とし、C との共有点が弧 AB
であるような角、または、その角の角度
のことです。

ここで「角」とは、二本の半直線を境界とする
平面図形のことで、「角度」とは違います。
(「角」と「角度」を厳密に呼び分けない
ことは、多いものですが。)

この回答への補足

＞円周 C 上の弧 AB に対する中心角とは、
C の中心を頂点とし、C との共有点が弧 AB
であるような角、または、その角の角度
のことです。
Ｃの中心とはどういう意味ですか？？？？
Ｃとは円周のことをいっているんですよね？？

補足日時：2010/02/16 21:38

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2010/02/16 22:06

円周には、中心があります。

C は円周ですから、「C の中心」といえば
それのことです。何が疑問ですか？

この回答への補足

そのことに関しては理解できました。
しかし、まだ質問した内容について納得がいかないとういうか、ひっかかります。
できたら、もう１つ質問しているのでそちらを答えていただけると幸いです。

補足日時：2010/02/16 22:29

No.7 回答者： alice_44 回答日時： 2010/02/16 22:42

「しかし、まだ … ひっかかります。

」は、
質問ではありません。
納得することを、感情的に拒んでいるだけです。

追加質問をするのなら、何が釈然としないのかを
明確に。