数学の得意な人なら簡単な問題かも知れません。
4次元の球の表面積はいくらか?という問題について答えを教えてください。
1次元の直線を二次元に均等に広げると円が出来ます。そこで最初の一次元の直線の長さ(1次元)と二次元空間に広がった円の長さ(1次元)を比較するとπだけ伸びています。
次ぎにこの円を三次元方向に均等に広げると球になります。円の面積(2次元)と三次元空間に広がった球の表面積(2次元)を比較すると、何と驚く事に今度はちょうど4倍(整数倍)になってます。
では次ぎに三次元の球を4次元方向に均等に広げた何か(球=キュウの次だから充=ジュウとでも命名しましょうか)と元の球の比較です。元の球の体積(3次元)とそれを4次元方向に均等に広げた充の表体積(3次元)の比率はいくらなのでしょうか?
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
3次元での球に相当するn次元の図形を超球と呼びます.
n次元超球の体積 V_n は
V_n = r^n*[ 2*(2π)^{(n-1)/2} ]/n!! n:奇数
V_n = r^n*[ (2π)^(n/2) ]/n!! n:偶数
のように書けます.
ここで出てきた,n!! は階乗の親戚みたいなもので
例えば 5!! = 5*3*1 = 15 のようになります.
また,通常n次元超球の表面積と呼ばれるものは
V_n を r で微分した
S_n = r^(n-1)*[ 2*(2π)^{(n-1)/2} ]/(n-2)!! n:奇数
S_n = r^(n-1)*[ (2π)^(n/2) ]/(n-2)!! n:偶数
の事を指します.
これらの一般式から4次元超球の体積と表面積はそれぞれ
V_4 = (1/2)π^2*r^4
S_4 = 2π^2*r^3
となることがわかるので,ご質問の比率は
S_4/V_3 = 3π/2
になりますね.
ご質問とは直接関係ありませんが,
n次元単位超球(r=1)の体積を具体的に見てみると
Vn = 2 , π , 4π/3 , π^2/2,8π^2/15 , π^3/6 , …
のようになり5次元で体積が最大となっています.
さらに,n→∞を考えると,
V_n/V_(n-2) = 2π/n → 0
S_(n-1)/S_(n-3) = n(V_n)/{(n-2)(V_(n-2)) = 2π/(n-2) → 0
のように単位超球の体積や表面積は0に近づいていきます.
なんだか不思議な感じですね.
No.4
- 回答日時:
Singolloさんの回答は出ていますが参考程度に
n次元球体の表面積と体積は参考URLにあります。
単位球面の面積は、nを次元数とすると、半径r=1 で
S1=2, S2=2π, S3=4π, S4=2π^2, S5=8π^2/3, S6=π^3
ですから、
三次元球の表面積は、4π*r^2 ですね。
四次元球の表面積は、2π^2*r^3 ですね。
体積は, Sn*∫r^n-1dr ですから、
三次元球の体積は、4π/3*r^3 ですね。
四次元球の体積は、π^2/2*r^4 ですね。
6次元のSnまで書いておきましたから比をとって考えてみてくださいね。
参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=528696
No.1
- 回答日時:
たとえば円の面積と球の表面積を比べる、それは意味のあることでしょうか?
球の表面積と比べるなら、円の周と比べるべきではないでしょうか?
(もちろん次元は違いますが、どちらも周囲ですから)
そして4次元の場合、まず表面積とは何なのかを決めなければ
議論はできません。
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