4次元の世界

数学の得意な人なら簡単な問題かも知れません。
4次元の球の表面積はいくらか？という問題について答えを教えてください。
1次元の直線を二次元に均等に広げると円が出来ます。そこで最初の一次元の直線の長さ（1次元）と二次元空間に広がった円の長さ(1次元）を比較するとπだけ伸びています。
次ぎにこの円を三次元方向に均等に広げると球になります。円の面積(2次元）と三次元空間に広がった球の表面積(2次元）を比較すると、何と驚く事に今度はちょうど4倍（整数倍）になってます。
では次ぎに三次元の球を4次元方向に均等に広げた何か（球＝キュウの次だから充＝ジュウとでも命名しましょうか）と元の球の比較です。元の球の体積（3次元）とそれを4次元方向に均等に広げた充の表体積（3次元）の比率はいくらなのでしょうか？

No.1 回答者： noname#24477 回答日時： 2003/06/08 18:33

たとえば円の面積と球の表面積を比べる、それは意味のあることでしょうか？

球の表面積と比べるなら、円の周と比べるべきではないでしょうか？
（もちろん次元は違いますが、どちらも周囲ですから）

そして４次元の場合、まず表面積とは何なのかを決めなければ
議論はできません。

No.2 回答者： Singollo 回答日時： 2003/06/08 19:53

単位4次元超球の表面積は2π^2、単位球の体積は4π/3ですから、その比は3π/2だと思います

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2003/06/10 10:12

No.3 ベストアンサー 回答者： guiter 回答日時： 2003/06/08 20:01

３次元での球に相当するｎ次元の図形を超球と呼びます．

ｎ次元超球の体積 V_n は
　V_n = r^n*[ 2*(2π)^{(n-1)/2} ]/n!!　　ｎ：奇数
　V_n = r^n*[ (2π)^(n/2) ]/n!!　　ｎ：偶数
のように書けます．
ここで出てきた，n!! は階乗の親戚みたいなもので
例えば 5!! = 5*3*1 = 15 のようになります．

また，通常ｎ次元超球の表面積と呼ばれるものは
V_n を r で微分した
　S_n = r^(n-1)*[ 2*(2π)^{(n-1)/2} ]/(n-2)!!　　ｎ：奇数
　S_n = r^(n-1)*[ (2π)^(n/2) ]/(n-2)!!　　ｎ：偶数
の事を指します．

これらの一般式から４次元超球の体積と表面積はそれぞれ
　V_4 = (1/2)π^2*r^4
　S_4 = 2π^2*r^3
となることがわかるので，ご質問の比率は
　S_4/V_3 = 3π/2
になりますね．


ご質問とは直接関係ありませんが，
n次元単位超球（r=1）の体積を具体的に見てみると
　Vn = 2 , π , 4π/3 , π^2/2，8π^2/15 , π^3/6 , …
のようになり５次元で体積が最大となっています．

さらに，n→∞を考えると，
　V_n/V_(n-2) = 2π/n → 0
　S_(n-1)/S_(n-3) = n(V_n)/{(n-2)(V_(n-2)) = 2π/(n-2) → 0
のように単位超球の体積や表面積は０に近づいていきます．
なんだか不思議な感じですね．

この回答へのお礼

ありがとうございました。
大変ためになりました。

お礼日時：2003/06/09 14:35

No.4 回答者： mmky 回答日時： 2003/06/08 20:08

Singolloさんの回答は出ていますが参考程度に

n次元球体の表面積と体積は参考URLにあります。

単位球面の面積は、ｎを次元数とすると、半径r=1　で
S1=2, S2=2π, S3=4π, S4=2π＾2, S5=8π＾2/3, S6=π＾3
ですから、
三次元球の表面積は、4π*r＾2 ですね。
四次元球の表面積は、2π＾2*r＾3 ですね。
体積は, Sn*∫r＾n-1dr ですから、
三次元球の体積は、4π/3*ｒ＾3 ですね。
四次元球の体積は、π＾2/2*r＾4 ですね。
6次元のSnまで書いておきましたから比をとって考えてみてくださいね。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=528696

この回答へのお礼

ありがとうございました。
同じ質問が過去にもあったんですね。
よく調べてみるのでした。

お礼日時：2003/06/09 14:42