No.1ベストアンサー
- 回答日時:
「不動点定理」といってもいろいろある。
ので、「中間値の定理」向きのバージョンを。
X を閉区間 [0, 1] とし、f を X から X への連続写像とする。f は不動点をもつ。
[証明例]
x∈X にて、0≦f(x)≦1。
f(0) = 0 なら、x = 0 が不動点。f(1) = 1 なら、x = 1 が不動点。
残るは、f(0)>0、f(1)<1 の場合。
g(x) = f(x) - x を考えると、
g(0) = f(0) - 0 >0
g(1) = f(1) - 1 <0
だから、「中間値の定理」により、g(xo) = 0 {つまり、f(xo) = xo }なる xo∈X があるはず。
すなわち xo が不動点。
No.2
- 回答日時:
最も一般的に不動点定理を述べるならば、「コンパクト空間上の連続写像は、
不動点を持つ」ということでしょうか?(ブラウワーの不動点定理)
空間上のある点(どの点でも良い)を連続写像で繰り返し移して行ったとき
の極限の点が不動点になる、だったと思います。
つまり、Xをコンパクト空間として、f:X→Xを連続写像、a∈Xに対して、
a1=f(a),a2=f(a1),a3=f(a2),・・・,an=f(an-1),・・・
として点列を構成して、{an}のn→∞のときの極限の点を考えれば、その点が
不動点になるのだったと思います。
閉区間上の連続関数には不動点が存在するといった、少し、状況を限定した
バージョンの不動点定理もありますが、この場合は、コンパクト空間として
閉区間を考えれば、同様に証明できるでしょう。
証明でやっていることを理解するためにも、最初は、閉区間上の連続関数の
バージョンで、グラフを描いて証明を視覚化して理解する方が良いかもしれ
ません。
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