曲線y=e^x上で曲率が最大になる点を求めよという問題ですが、解き方が

曲線y=e^x上で曲率が最大になる点を求めよという問題ですが、解き方がわかりません。
どなたか教えてください。お願いします。

No.3 回答者： ryooji_f 回答日時： 2012/02/02 00:48

曲率が最大になる点を求める→曲率半径が最小となる点を求める問題ということで解きます

曲線の曲率半径Rを求める算式は下記となります（ここでdiff(y,x,1)はyをxで1回微分する、という意味です）
R = (('diff(y,x,1))^2+1)^(3/2)/'diff(y,x,2)

y = e^xを上式に代入してまとめます
R = %e^(-x)*(%e^(2*x)+1)^(3/2)

Rの最小値（極値）を求めるため、diff(R,x,1) = 0をxについて解いた結果を示します
x = log(-%i), x = log(%i), x = log(-1/sqrt(2)), x = -log(2)/2

求める点は後ろの二つとなります（前の二つは曲率が虚数となるので無視）
これらの点での曲率半径は-3^(3/2)/2, (3^(3/2)*%e^(log(2)/2))/2^(3/2)となります
実数値で比較すると-2.598076211353316と2.598076211353315なので
x=-log(2)/2の点の方が僅かに絶対値が小さいので、こちらが求める点ということになります


曲率半径を計算する公式が何故このような形なのかはurlを参照下さい
手前のblogで恐縮ですが参考になれば幸いです

参考URL：http://d.hatena.ne.jp/ryooji_f/20111220/1324383973

No.2 回答者： shelah_woodin 回答日時： 2010/06/25 22:32

●曲率の定義は分かってますか？

●曲率の求め方（二回微分と一回微分を用いた式）は知っていますか？

それらが分かっていれば計算するだけです．
それを知らないならば，まず教科書で勉強しましょう．

ただ，曲率は曲率半径（高速道路などでＲ＝３００とか表示がでますよね．あれがカーブの一番きつい所の曲率半径です．その時のハンドル角度で回り続けたときに描く円の半径です・・くどいですか？）の逆数ですから，曲率最大⇔曲率半径最小ですね。

それでy=e^xのグラフを見ていると・・・，どうも（０，１）辺りが怪しい？

この回答へのお礼

お手数かけました

お礼日時：2010/07/10 08:13

No.1 回答者： -ok 回答日時： 2010/06/25 11:32

↓を参考にして曲率を求めてください。

http://www13.atwiki.jp/ookubo/?cmd=upload&act=op …