ω1=-1/2+i√3/2，ω2=-1/2-i√3/2に対し，ω1^n

ω1=-1/2+i√3/2，ω2=-1/2-i√3/2に対し，ω1^n+ω2^n(ｎ∈Z)を求めよ。
どうやって解けばいいのかわからないので教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2010/07/07 19:37

|ω1|=|ω2|=1,ω1=e^(i2π/3),ω2=e^(-i2π/3)

ω1+ω2=e^(i2π/3)+e^(-i2π/3)=-1
ω1^2+ω2^2=e^(i4π/3)+e^(-i4π/3)=e^(-i2π/3)+e^(i2π/3)=ω2+ω1=-1
ω1^3+ω2^3=e^(i6π/3)+e^(-i6π/3)=e^(i2π)+e^(-i2π)=1+1=2
ω1^4+ω2^4=e^(i8π/3)+e^(-i8π/3)=e^(i2π/3)+e^(-i2π/3)=-1
…
ω1^n+ω2^n=e^(i2nπ/3)+e^(-i2nπ/3)
mを正整数として
n=3m-2のとき
ω1^n+ω2^n=e^(i(6m-4)π/3)+e^(-i(6m-4)π/3)
=e^(i2π/3)+e^(-i2π/3)=ω1+ω2=-1

n=3m-1のとき
ω1^n+ω2^n=e^(i(6m-2)π/3)+e^(-i(6m-2)π/3)
=e^(-i2π/3)+e^(i2π/3)=ω2+ω1=-1

n=3mのとき
ω1^n+ω2^n=e^(i6mπ/3)+e^(-i6mπ/3)=1+1=2

以上をまとめると

n=3mのとき
ω1^n+ω2^n=2
n≠3mのとき
ω1^n+ω2^n=-1
ここで、mは1以上の任意の正整数（自然数）です。

（参考）単位円を考えると分かりやすいと思います。

この回答への補足

ありがとうございます。最初から，難しいですね。
ちょっと，みながら，ゆっくり，勉強してみるので，また，分からなかったら教えてください。

補足日時：2010/07/07 22:49

No.5 回答者： pascal3 回答日時： 2010/08/18 02:47

> ω1^n+ω2^n(ｎ∈Z)を求めよ。

これは、n = 0, ±1, ±2, ... に対して求めろっていう問題なのだから
（あなたが掲示板に書き込んでいる問題のほとんどはそう。 出題者の誘導を無にするな！）
問題を出した人の気持ちにあなたが応えるつもりが少しでもあるならば、
「どうやって解けばいいのかわからない」などと書く前に、自分で一歩ずつ順番に計算していくべきなのです。

とりあえず n がマイナスのときは棚上げしておきましょうか。

「n = 0 のときはこうなる」
「n = 1 のときはこうなる」
「n = 2 のときはこうなる」
「n = 3 のときはこうなる」

頑張って計算していると、そのうち、一般のnに対するパターンが予想できるはずです。
その予想ができた段階で質問するんだったらいいですが、そこまでたどり着く前に掲示板に丸投げしてしまうのは、あなたの先生に対してものすごく失礼なことをしているのですよ。 そこをしっかり考えてから質問するようにしてください。

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2010/07/10 01:25

#1です。

>ω1^3=ω2^3=1
>ω1+ω2=-1
>ω1ω2=1
>これは，計算すると出てくるんですよね。

計算でも出ますが、単位円を描いてω1、ω2がその円周上の点であることから、|ω1|=|ω2|=1はすぐ出てきます。偏角もベクトル和や積を考えればすぐ分かることです。

No.3 回答者： spring135 回答日時： 2010/07/07 23:29

ω1=-1/2+i√3/2，ω2=-1/2-i√3/2は1の3乗根だということを記憶しましょう。

一般に1のｎ乗根はｎ個あって、e^(i(2πk/n))(k=1,2,...n)です。複素平面でX＝1から半径1の円上を2π/nづつ反時計回りに回転していった時の複素数です。
n=3の場合、ω1=-1/2+i√3/2，ω2=-1/2-i√3/2が以上の議論に矛盾しないことを確認してください。

No.2 回答者： nag0720 回答日時： 2010/07/07 20:16

ω1^3=ω2^3=1

ω1+ω2=-1
ω1ω2=1
を利用すれば、

n=3mのとき
ω1^n+ω2^n=ω1^(3m)+ω2^(3m)=1+1=2
n=3m+1のとき
ω1^n+ω2^n=ω1^(3m+1)+ω2^(3m+1)=ω1+ω2=-1
n=3m+2のとき
ω1^n+ω2^n=ω1^(3m+2)+ω2^(3m+2)=ω1^2+ω2^2=(ω1+ω2)^2-2ω1ω2=-1

この回答への補足

ω1^3=ω2^3=1
ω1+ω2=-1
ω1ω2=1
これは，計算すると出てくるんですよね。

補足日時：2010/07/07 22:50