数学のパラメータ表示の積分なのですが、

数学のパラメータ表示の積分なのですが、

x=cos^4 y=sin^4　x軸　y軸　で囲まれた面積で、

範囲は(0≦θ≦π/4)です。

微分すると、dx/dθ＝-4sinθcos^3θと出てしまい、
グラフの形が読み取れません。
これはどうすればいいんでしょうか？

どなたか教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2010/08/10 08:55

>x=cos^4θ、y=sin^4θで、x軸、y軸に囲まれた面積を求める問題です。

>範囲は(0≦θ≦π/4)です。

これでは囲まれた領域ができませんので面積も計算できません。
誤：範囲は(0≦θ≦π/4)
正：範囲は(0≦θ≦π/2)
ではないですか？

範囲が(0≦θ≦π/2)だとすれば

S=∫[0,π/2]∫[0,√{cos^8(θ)+sin^8(θ)}]rdrdθ
=∫[0,π/2] (1/2){cos^8(θ)+sin^8(θ)}dθ
=(1/2)∫[0,π/2] [{cos^2(θ)+sin^2(θ)}^4-4cos^2(θ)sin^2(θ)*(cos^2(θ)sin^2(θ))-6(cos^4(θ)sin^4(θ))]dθ
=(1/2)∫[0,π/2] [1-4cos^2(θ)sin^2(θ)-6(cos^4(θ)sin^4(θ))]dθ
=(1/2)∫[0,π/2] [1-sin^2(2θ)-(3/8)(sin^4(2θ))]dθ
=(π/4)-(1/4)∫[0,π/2] [1-cos(4θ)+(3/4)(sin^2(2θ))^2]dθ
=(π/4)-(π/8)-(3/16)∫[0,π/2] [(1/4)(1-cos(4θ))^2]dθ
=(π/8)-(3/64)∫[0,π/2] {1-cos(4θ)}^2dθ
=(π/8)-(3/64)∫[0,π/2] {1-2cos(4θ)+cos^2(4θ)}dθ
=(π/8)-(3π/128)-(3/64)∫[0,π/2] {cos^2(4θ)}dθ
=(π/8)-(3π/128)-(3/64)∫[0,π/2] (1/2){1+cos(8θ)}dθ
=(π/8)-(3π/128)-(3π/256)
=(32-6-3)π/256
=23π/256

この回答へのお礼

すみません！範囲は(0≦θ≦π/2)でした。

有り難うございます。

お礼日時：2010/08/10 10:01

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2010/08/09 23:35

極座標を使って積分します。

r=f(θ)のとき
これによって囲まれる部分の面積Sは
S=（1/2)∫(θ:θ1→θ2）r^2dθ
r^2=cos^8θ+sin^8θ
1=sin^2θ+cos^2θの両辺を２乗して
1=sin^4θ+cos^4θ+2sin^2θcos^2θ
sin^4θ+cos^4θ=1-2sin^2θcos^2θ
両辺２乗して
sin^8θ+cos^8θ=(1-2sin^2θcos^2θ)^2-2sin^4θcos^4θ
等々計算すると
sin^8θ+cos^8θ=cos(8θ)/64+7cos(4θ)/16+35/64
S=（1/2)∫(0→π/4）r^2dθ=（1/2)∫(0→π/4）(sin^8θ+cos^8θ)dθ
=（1/2)∫(0→π/4）(cos(8θ)/64+7cos(4θ)/16+35/64)dθ
=（1/128)∫(0→π/4）(cos(8θ)+28cos(4θ)+35)dθ
=（1/128)[sin(8θ)/8+28sin(4θ)/4+35θ](0→π/4）
=35π/512

(計算があっているか微妙なところです。チェックしてください)

この回答へのお礼

詳細に有り難うございます！

極座標を使うのですね。おかげでスッキリしました。

お礼日時：2010/08/10 09:11

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/08/09 22:49

式はきちんと書いてほしい. x=cos^4 って何だ. しかも, どんな計算をするのか, そしてなぜ dx/dθ を計算するのかが全くわからん.

さておき, 何を計算したいのかわからんのだがとにかく何も考えずに運算すればいいのでは?
なげやりな感じはあるが問題相応だと思ってくれ.

この回答への補足

x=cos^4θ、y=sin^4θで、x軸、y軸に囲まれた面積を求める問題です。
範囲は(0≦θ≦π/4)です。

増減表を描こうと思うのですが、dx/dθ、dy/dθのグラフが掴めず、
増減がよく解らないのです。

うまく質問できずにすみません。
どうしても解らないのでできれば教えてください。

補足日時：2010/08/09 23:21