cos(π/n) を n の式出かけるでしょうか？

タイトル通りですが、cos(π/n)　を n の式出かけるでしょうか？

複素解析のeの会場ではなく、初等的にｎ乗根とかで表したいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/02 01:12

ああ、そうか。

n乗根が使いたいのか。
それなら、
cos(π/n) = { e^(iπ/n) + (e^(-iπ/n) }/2
　　　　= { e^(iπ)のn乗根 + e^(-iπ)のn乗根 }/2
　　　　= { (-1)のn乗根 + (-1)のn乗根 }/2
と書くことはできるかな。
ただし、最右辺のふたつの (-1)のn乗根 を
n 個ある複素値の中から正しい組み合わせで選ぶ必要があって、
cos(π/n) = (-1)のn乗根
とは整理できないのだけれど。

No.4 回答者： finalbento 回答日時： 2021/05/02 17:22

eの会場ならぬ階乗ではなくて「eの累乗ではなく」と言う事ですよね。

No.3 回答者： ibm_111 回答日時： 2021/05/02 10:08

理論的には書けます．

https://ameblo.jp/toshitt60/entry-10196124896.html

実際にそのようなアルゴリズムが存在するかどうかというのは全然別の話ですが，
今回の問題では存在するようです．
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/811014.html
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/817330.html
パソコンでmathematicaにやらせるとn=23ぐらいで出力できなくなるようですが．

ただし，実際に何をやっているのかは分かりません．

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/02 01:07

cos(π/n) 自体が n の式だと思いますけどね。

cos のマクローリン展開を利用して、
Σ[k=0→∞] {(-1)^k/(2k)!}(π/n)^(2k) とかどうでしょう？
ベキ級数なら、ほぼ多項式みたいなものですから。