公務員の問題で解答を見てもわかりません。（地方上級全国型）

公務員の問題で解答を見てもわかりません。（地方上級全国型）
答えに行きつくまでの考え方が把握できません。
問題と解答については以下の通りです。

問題

図のような三角形ABCがある。この三角形においてAD:DC＝３：２、BE:ECとなるように線分AE,BDを引き、その交点をPとする。このとき、三角形BEPと、三角形CDPの面積の比はいくらか？

選択肢
BEP CDP
(1) １ ： １
(2) ２ ： ３
(3) ３ ： ４
(4) ４ ： ５
(5) ５ ： ６


解答は「(5)」の「５：６」となるようです。

解答を見ても内容をさっぱり理解できませんでした。（バカなもので・・・・・）
答えに行きつくまでの考え方が把握できません。

すいませんが、どうかお詳しい方、ご教授お願い致します。

No.3 ベストアンサー 回答者： banakona 回答日時： 2010/08/28 14:37

＞なぜ底辺を見れば「△ＣＰＢ：△ＣＤＰ＝５：３」というのがわかるのですか？

「底辺を見れば」ではなく「底辺と見なせば」というべきだったかも。

△Ｃ ＰＢと△Ｃ ＤＰは、ＢＤを底辺と見なせば高さは同じですよね？

三角形の面積は底辺×高さ÷２なので、高さが同じなら底辺の比で面積比が決まります。
だから　ＰＢ：ＤＰ＝５：２　なら　△ＣＰＢ：△ＣＤＰ＝５：３　となります。

この回答へのお礼

わかりました。
「底辺を見れば」ではなく「底辺と見なせば」・・・
と伺ったときに調べてみると・・・「確かに！」ってなりました。
ちなみに・・、「ＰＢ：ＤＰ＝５：２」は「ＰＢ：ＤＰ＝５：３」でしょうか？

とにかくすべてわかりました。
写真もつけていただいてとてもわかりやすかったです。
ありがとうございました。
また何かありましたらよろしくお願いいたいます。

お礼日時：2010/08/28 15:18

No.2 回答者： htms42 回答日時： 2010/08/28 14:17

まず

＞BE:ECとなるように線分AE,BDを引き、
は「ＢＥ＝ＥＣになるように・・・」の間違いですね。
Ｅは辺ＢＣの中点です。

使っているの
「高さの等しい２つの三角形の面積の比は底辺の比に等しい」
という関係だけです。

この関係を繰り返し使って行きます。

△ＡＢＥ：△ＡＣＥ＝ＢＥ：ＥＣ＝１：１
△ＰＢＣ：△ＰＥＣ＝ＢＥ：ＥＣ＝１：１
この２つの式から
△ＡＢＰ：△ＡＰＣ＝１：１
が出てきます。

同様に
△ＢＣＤ：△ＢＤＡ＝ＣＤ：ＤＡ＝２
△ＰＣＤ：△ＰＤＡ＝２：３
△ＢＣＰ：△ＢＰＡ＝２：３

△ＰＣＤの面積を２ｓとします。
△ＰＤＡ＝３ｓ
△ＡＢＰ＝△ＡＰＣ＝△ＡＰＤ＋△ＰＤＣ＝５ｓ
△ＢＣＰ＝(２/３)×△ＢＰＡ＝(１０/３)ｓ

△ＢＥＰ＝(１/２)×△ＢＣＰ=(５/３)ｓ

これで△ＢＣＰと△ＰＣＤの面積が求められましたから比を求めることもできます。

この回答へのお礼

回答の方ありがとうございました。
「高さの等しい２つの三角形の面積の比は底辺の比に等しい」
という部分で最初、とても良いきっかけで理解することができました。　
また、個人的なことになってしまいますが、私、勘違いしておりました。
以前違う問題で、解いている途中で正三角形の各辺の比と、違う大きさの三角形の比の差を起点に面積比や式中の高さ、底辺の違いの範囲を勉強している時に、その式でそれぞれの三角形の辺は２：１で面積はそれぞれ４：１であり、辺の比をｘ：ｙとした時に、ｘ＾２：ｙ＾２　というのをただ暗記していたものでそこで今回のをそのままあてはめましたら、理解をするのに逆に障害となってしまっていたようです。
今度からこの今回のことと、前回の事をまとめて整理しておこうと思っています。

お礼日時：2010/08/28 15:29

No.1 回答者： banakona 回答日時： 2010/08/28 14:07

ＤからＡＥに平行線（赤線）を引き、ＢＣとの交点をＦとする。

すると△ＣＡＥと△ＣＤＦの相似でＡＤ：ＤＣ＝ＥＦ：ＦＣなのでＥＦ：ＦＣ＝３：２

ＢＥ＝ＥＣなのでＢＥ：ＥＦ＝ＥＦ＋ＦＣ：ＥＦ＝３＋２：３＝５：３

△ＢＤＦと△ＢＰＥの相似で　ＢＰ：ＰＤ＝ＣＥ：ＥＦ＝５：３

△ＣＰＢと△ＣＤＰでそれぞれＤＰ，ＰＢを底辺と見れば　△ＣＰＢ：△ＣＤＰ＝５：３

△ＢＥＰは△ＣＰＢの１／２（ＢＣを底辺とみる）なので　
　　△ＢＥＰ：△ＣＤＰ＝５／２：３＝５：６

（この他に、頂点に碁石を置くとか解法があるけどコレがお勧め）

この回答への補足

すいませんありがとうございます。
ところでまだわかりません。
「△ＣＰＢと△ＣＤＰでそれぞれＤＰ，ＰＢを底辺と見れば　△ＣＰＢ：△ＣＤＰ＝５：３」
で
なぜ底辺を見れば「△ＣＰＢ：△ＣＤＰ＝５：３」というのがわかるのですか？
もう少しできれば・・詳しく教えて頂けませんでしょうか？

補足日時：2010/08/28 14:23