No.2
- 回答日時:
3次方程式の解と係数の関係を使った別解です。
x,y,z を3つの解とするtの3次方程式を考えますと、この方程式は 3次方程式の解と係数の関係から
http://ameblo.jp/jukensuugaku/entry-10446026333. …
xy+yz+zx = xyz =k とおいて
t^3-(x+y+z)t^2+(xy+yz+zx)t-xyz=0
∴t^3-t^2+kt-k=0
⇔t^2(t-1)+k(t-1)=0
⇔(t^2+k)(t-1)=0
∴ t=1, t^2+k=0
このことから、tの3次方程式の3つの解x,y,zのうち少なくとも1つは 1 であることが分かりました。
従って、x,y,zの3つのうち少なくとも1つが1である問えます。
#1さんの展開式 (x-1)(y-1)(z-1)=xyz-(xy+yz+zx)+(x+y+z)-1 を利用した解法の方がスマートですね。
No.1
- 回答日時:
こんばんわ。
昔からよく見る「例題」ですね。^^
「少なくとも 1つが 1に等しい」ということは、
x= 1、y= 1、z= 1のうち、少なくとも 1つが成り立つということですね。
さらに、言い換えると
x- 1= 0、y- 1= 0、z- 1= 0のうち、少なくとも 1つが成立していること
となります。
このことを「方程式のように」表してみたら、どうなりますか?
それが「少なくとも 1つが 1に等しい」を式で表した(同値である)ことになります。
証明では、その式が成り立つことを示せばOKです。
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