微分方程式の解き方について

電気関係の本を読んでいたのですが、
添付ファイルのような微分方程式が出てきました。

初期条件と解答は記載されているのですが、
途中計算がないため、どのように導いたのかわかりません。

おそらくラプラス変換等を使用するのだと思い、
いろいろ試してみたのですが、結局導けませんでした…

お手数ですが、お分かりになる方がいましたら
ご指導お願いいたします。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2011/03/21 22:15

一本目の式を v_C = … と変形して二本目の式へ代入するか、

二本目の式を i_L = … の形で一本目の式へ代入するかすれば、
連立が解消して、i_L だけ、または v_C だけの方程式になる。
このとき、定係数非斉次線型２階常微分方程式が現われる。

解答例に従って、v_C の方程式にしてみよう。
u = v_C - v_OFF と置き換えれば、定数項が消えて、
u に関する斉次線型微分方程式となる。

２階だから、特性方程式は二次方程式であり、容易に解ける。
特性根は複素数の範囲で２個ある。それを λ, μ と置く。
u = A e^(λt) + B e^(μt) { A, B は定数 } が u の一般解である。

v_C, i_L を u の入った式で表して、初期条件へ代入すれば、
A, B の値が決まる。λ, μ が複素数だから、得られた解を
e^(x+iy) = (e^x)(cos y + i sin y) を使って実関数で表せば、
解答例のような式となる。

この回答への補足

お返事遅くなりまして申し訳ありませんでした。
教えてくださった通りに計算を進めてみたのですが、途中でつまずいてしまいました。

私が計算できたところまでと言いますと、
まず、二本目の式を一本目の式に代入するために、
二本目の式の両辺を微分して、

i_L/dt=Cp(d^2v_C/dt^2)+(dv_C/dt)*(1/R_toff)

と求めました。この式を一本目の式に代入して、

LpCp(d^2v_C/dt^2)+(dv_C/dt)*(L_P/R_toff)+v_C - v_OFF=0…(1)

と計算しました。ここで教えて頂きましたとおりに、
u = v_C - v_OFF　として(1)に代入したところ、

LpCpu''+(Lp/R_toff)*u'+u=0

となり、これを整理して

u''+(1/Cp*R_toff)*u'+(1/LpCp)*u=0

という式になりました。ここで教えて頂きましたとおりに、

u = A e^(λt) + B e^(μt) { A, B は定数 }
として、v_C, i_L を u の入った式で表して、
初期条件を代入すると、それぞれ以下のとおりになりました。

[v_Cをuの入った式で表した場合]
u = v_C - v_OFF = A e^(λt) + B e^(μt)
v_C = A e^(λt) + B e^(μt) + v_OFF

初期条件より、

v_C(0) = A + B + v_OFF = 0
∴A + B = - v_OFF …(2)

[i_Lをuの入った式で表した場合]
二本目の式に
v_C = u + v_OFF
を代入すると、
i_L=Cp*u'+(u + v_OFF)*(1/R_toff)

u = A e^(λt) + B e^(μt)であるから、

i_L=Cp*(Aλe^(λt) + Bμe^(μt))+(1/R_toff)*(A e^(λt) + B e^(μt))+(v_OFF/R_toff)

初期条件より、

i_L(0)=Cp*(Aλ + Bμ)+(1/R_toff)*(A + B)+(v_OFF/R_toff)=I_ON

(2)よりA=-B-v_OFFであるから、これを上の式に代入すると

B＝(I_ON + v_OFF * Cp * λ)/(Cp(μ - λ)…(3)

と求められる。この式を、A=-B-v_OFFに代入すると、

A＝-(I_ON + v_OFF * Cp * μ)/(Cp(μ - λ)…(4)

となりました。
(3)、(4)より、

u = (-(I_ON + v_OFF * Cp * μ)/(Cp(μ - λ)) e^(λt)
+ ((I_ON + v_OFF * Cp * λ)/(Cp(μ - λ)) e^(μt)

と求めることができたのですが、ここまでの計算は間違っていないでしょうか？

また、この後の計算ですが、

>λ, μ が複素数だから、得られた解を
>e^(x+iy) = (e^x)(cos y + i sin y) を使って実関数で表せば、
>解答例のような式となる。

ということですが、どのように計算すればよいかわかりませんでした。

お手数ですが、私の計算過程の確認とその後の計算方法に関して
今一度ご指導して頂けないでしょうか？
よろしくお願いいたします。

補足日時：2011/04/17 18:00

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2011/03/21 18:01

式

LpdiL/dt+Vc=Voff 　　　　　　(1)
iL=CpdVc/dt+Vc/Rtoff　　　　　(2)

からiLを消去して

d^2Vc/dt^2+(1/CpRtoff)dVc/dt+Vc/LpCp=Voff/LpCp

定数係数の２階線形微分方程式です。

微分方程式の教科書や電気の過渡状態の方程式に出ていますので

それらを参考に初期条件を入れて定石通り解いていけば解けます。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/RLC%E5%9B%9E%E8%B7%AF