今年の弘前大学の問題です。

「正２０角形Pの頂点から３つを選び、これらを頂点とする三角形を つくるとき、Pと辺を共有しない三角形はいくつあるか。ただし、合同な 三角形は区別せずに１つと数えることにする」
という問題で。答えは24個なのですが、解説もみたのですが、わかりません。

No.1 回答者： yukaru 回答日時： 2011/08/14 20:26

一点目を頂点の頂点に固定し２点目は左半分にしとけば、あとは簡単に求められるかと、合同な三角形は手作業で除いてください

もしくは正２０角形から任意の３点を選び合同な三角形を手作業で除いてください

まあ解説も同様でしょうから、ほねおりぞんということでしょうけど

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/08/14 21:33

頂点から3つを選ぶ、この作業を別の作業に置き換えます。

Pの各頂点からPの外接円の中心Oまでの線分を引きます。
すると、それぞれの線分はπ/10の角を20個をなし放射状に配置します。

ここで3つの頂点を選ぶと、その3つの頂点から中心Oに引いた線分で3つの角が作られます。
それぞれの角はπ/10の整数倍の大きさで、その合計は2πとなります。
つまり、整数k,m,nを使い
(kπ/10,mπ/10,nπ/10)　kπ/10+mπ/10+nπ/10=2π→k+m+n=20
と表せます。
さらに、隣り合う頂点を選ぶことが出来ないためk,m,n≧2となります。

頂点を選ぶことはこの(k,m,n)を選ぶということになります。

ここで(5,6,9)と(6,5,9)の二つの頂点の選び方を見ると、この頂点を結んだ三角形は合同になります。このような選び方を排除する必要があります。
一番簡単なのは(k.m.n)を小さい順に並べると決めてしまえばよいのです。

以上のことから、3つの整数k.m.nの選びからを次のように決めます。
k+m+n=20
2≦k≦m≦n
このようなk.m.nの選び方を考えればよいのですが、この場合、しらみつぶしに数えてもさほど組み合わせの数は多くなりません。
kは2～6であることはすぐわかりますので、樹形図でも描けば全てカウントできると思います。

No.3 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/08/14 21:33

こんばんわ。

まずは、解説がどう書かれていて、どこがわからなかったのか
書いてほしいですね。＾＾

確かに、「辺を共有しないこと」と「合同な三角形」がややこしいですね。
「点を選ぶ」ことから少し視点を変えて、「中心角」に注目してみました。
以下、その手順を。

・正20角形の隣り合う点と外接円の中心とで作る円周角は、
360°÷20＝ 18°となります。

・ということは、頂点を選んで出来る三角形の角は円周角の定理から
9°の倍数ということになります。

・角A＝ 9a°、角B＝ 9b°、角C＝ 9c°とおくと
a+ b+ c＝ 20という関係式が得られます。
ただし、a≧ 2, b≧ 2, c≧ 2でなければなりません。
（なぜ、この条件がつくかは考えてみてください。）

・たとえば、(a, b, c)＝ (2, 3, 15)と (15, 3, 2)は合同な三角形になってしまいます。
そこで、2≦ a≦ b≦ cという関係をつけて、上の和を満たす組を書きだしていきます。
書き出した組を数え上げると、24とおりになります。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2011/08/14 21:37

正二十角形の頂点のうち、三角形の頂点になるものが 3 個、それ以外が 17個。

17 個の頂点を、三角形の頂点で区切られた 3 つのグループに分ければよい訳だが、
三角形が二十角形と辺を共有しないため、三角形の頂点は二十角形上隣接しない。
つまり、17 個の頂点を、三つのグループに、各グループが最低 1 点は持つように
分ければよい。最初から 1 点づつ各グループに配っておくと考えれば、それは、
14 個の頂点を、(0 個のグループも許して) 三つのグループに分けることと等しい。
合同な三角形を区別しないことは、グループどうしは区別しないことと見てよい。

要するに、14 を三つの非負整数の和に分割する場合の数 を求める問題となる。
ここから先は、組み合わせ論的にやるより、全数列挙のほうが早い。
14 = 14 + 0 + 0
　　= 13 + 1 + 0
　　= 12 + 2 + 0
　　= 12 + 1 + 1
　　= 11 + 3 + 0
　　= 11 + 2 + 1
　　= 10 + 4 + 0
　　= 10 + 3 + 1
　　= 10 + 2 + 2
　　= 9 + 5 + 0
　　= 9 + 4 + 1
　　= 9 + 3+ 2
　　= 8 + 6 + 0
　　= 8 + 5 + 1
　　= 8 + 4 + 2
　　= 8 + 3 + 3
　　= 7 + 7 + 0
　　= 7 + 6 + 1
　　= 7 + 5 + 2
　　= 7 + 4 + 3
以上 20 通り。

No.5 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2011/08/14 23:26

数え上げるのが一番簡単なんですが、あえて別の方法で計算すると、

２０個の頂点から３つ選んで三角形を作る組み合わせの数は、20C3=1140通り
このうち、２辺ともPの辺と共有しているのは、３頂点が隣り合っている場合なので、20通り
１辺ともPの辺と共有しているのは、２頂点が隣り合っていて１頂点は１６通りあるので、20*16=320通り
よって、Pと辺を共有しない三角形は、1140-20-320=800通り

このうち、二等辺三角形になるのは、
二等辺三角形の頂点を固定して考えれば、残りの２頂点は８通りあるので、20*8=160通り
よって、二等辺三角形ではない（不等辺三角形と呼びましょうか）のは、800-160=640通り

合同な三角形は１つと数えることにすると、
二等辺三角形は、回転しても同じになるので、160/20=8通り
不等辺三角形は、回転と反転で同じになるので、640/40=16通り
で、計8+16=24通りとなります。


＃４さんの列挙は、
14=6+6+2
　=6+5+3
　=6+4+4
　=5+5+4
が抜けていますので、これを加えると２４通りになります。

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2011/08/16 00:49

おお…

誤答陳謝