直方体内の三角形の面積を求める時の解放の流れ

高校数学I
三角比の章の最後にあたる図形と計量で、弟に質問されました。

直方体ABCD-EFGHの中の△AFCの面積を求めよ。

というような問題が、大抵でてくるとおもうのですが、
基本的な流れとしては、
１三平方の定理から△AFCの３辺の長さを求める。
２余弦定理からどこか１つの角のcosの値を求める。
３三角比の相互関係からsinの値を求める。
４三角形の面積の公式に代入し、面積を求める。
が、一般的ですよね。

これは、三角形の面積の公式で必要になる
２辺の長さとその間の角のsinの値
を求める過程の流れをまとめたもので、
この流れを知っていないと、こうシンプルにはまとまりませんよね。


弟に聞かれたのが、以下のようなことで、
とりあえず面積をだしたいのだから、
この公式を目標に面積を求めようとすると、
まず、必要な２辺の長さを三平方で求め、
次にsinの値を求めようとして…この先は？
となる。

sinの値は、cosの値が求められれば、相互関係で戻せる。
だから、cosを求めればいい。
cosは余弦定理で求められるけど、
さっきはまだ２辺しか求めていないから、残りの１辺も求めてから余弦定理。
求めたらsinに戻せば、目標だった面積の公式にたどり着いた。
でいいのではないか？と思うのですが、
やはりsinを求めたいのに、何故cosを出すのか、という点がピンときていない様子。
たしかに、私もこの流れで解くものだ。と思っていたので深く考えてはいなかったのですが、
何故cosを先に求める。というやり方をするのでしょうか？

単元的には、面積の公式を使って解く。みたいなところがあると思うので、
単純に、直接sinを求めようとすると、高１で使える定理と言えば、三平方や正弦・余弦定理くらいで、
逆に回りくどくなってしまうからなのでしょうか？
面積だけなら、別の方法で求めることが出来ると思いますが、それは考えないことにして。

sinを求めるぞ。
でも、こういう理由があるから、まずはcosを求めよう。

みたいな理由としてどんなものがあるのでしょうか？
回答、よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2011/10/22 14:38

三角形の面積Sの公式

　S=√{s(s-a)(s-b)(s-c)},s=(a+b+c)/2 … 三辺と面積の公式（ヘロンの公式）
　S=(1/2)ac*sinB=(1/2)bc*sinA=(1/2)ab*sinC … 二辺とその間の角と面積の公式（★）
S=(1/2)|(a↑)×(b↑)|=(1/2)|(b↑)×(c↑)|=(1/2)|(a↑)×(c↑)|
…2辺のベクトルの外積と面積の公式
　S=rs,s=(1/2)(a+b+c) … 三辺と内接円の半径rと面積の公式
　S=abc/(4R) … 三辺と外接円の半径Rと面積の公式

などがあります。
どの公式を使うかでSを求める手順（流れ）が変わってきます。

質問の手順は(★)の公式を用いる手順です。
その場合の公式
　S=(1/2)ac*sinB
を適用する場合は
　△AFCで　a=AC,c=AF,∠B=∠CAF=θに対応させると
　S=(1/2)AC*AF*sinθ

Sの式でAC,AFは三平方の定理から
　AC=√(AB^2+BC^2)
　AF=√(AB^2+BF^2)
ついでにCFも三平方の定理から
　CF=√(BC^2+BF^2)
と得られます。
sinθを求めるには
　三辺との関係は余弦定理しかありません。
　余弦定理は cosθと三辺との関係式なので直接sinθは求められません。
したがって　
cosθ=(AC^2+AF^2-CF^2)/(2AC*AF)=AB^2/(AC*AF)
を求めてから,公式sin^2θ+cos^2θ=1を使い
　sinθを求めるという手順となります。
今の場合はθは鋭角なので
　sinθ=√(1-cos^2θ)
から求めることになりますね。

No.3 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/10/22 15:05

こんにちわ。

＞sinを求めるぞ。
＞でも、こういう理由があるから、まずはcosを求めよう。
ほんとうに知りたいのは、「角度」です。
その角度に応じた sinなり、cosなりを求めたいわけで・・・。
sin^2(θ)+ cos^2(θ)＝ 1の関係があるので、相互に言いかえることができますよね。


＞この公式を目標に面積を求めようとすると、
＞まず、必要な２辺の長さを三平方で求め、
＞次にsinの値を求めようとして…この先は？
三角形の形状を確定させようとすると、2辺の長さだけではだめですよね。

それら 2辺にはさまれた角の大きさであったり、残りの辺の長さが必要であったりします。
この「角の大きさ」と「残りの辺の長さ」も同じことを言っています。

つまり、角の大きさが決まれば残りの辺の長さも決まりますし、
逆に残りの辺の長さが決まれば角の大きさも決まります。
問題によっては、角の大きさが明確になっている場合もあると思います。



直方体内につくられた三角形の問題となっているので、
3つの辺の長さを求めてから・・・という手順になっていますが、
「三角形の面積を求める」問題とすれば手順はいろいろ変わってきます。

＞これは、三角形の面積の公式で必要になる
＞２辺の長さとその間の角のsinの値
この公式も、もともとは
(面積)＝ (底辺)×(高さ)÷ 2

の公式の(高さ)を辺の長さと角度(sin)で置き換えているだけです。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2011/10/22 14:45

＞ sinを求めたいのに、何故cosを出すのか

cos の値が解かれば、sin の値も解かるからでしょ。
(cosθ)^2 + (sinθ)^2 = 1.
別に、余弦定理を使う以外の方法で sin を求めても
全くかまわないけれど、特に思い付かないからなあ。