大学数学の積分の問題です

円錐の重心について。Ｖを半径a＞０、高さｈ＞０の円錐とし、回転軸をｚ軸に一致させ、頂点を原点にさせ、次のように倒置する。Ｖの重心を計算せよ。
Ｖ＝｛（ｘ、ｙ、ｚ）：ｈ√（ｘ＾2+ｙ＾2）/a≦ｘ≦ｈ｝


課題で出されたのですがさっぱり分かりません。分かる方解き方も交えて教えてください。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2011/12/01 20:45

参考URL

・「http://hooktail.sub.jp/mechanics/CG/」の剛体の重心の所
・「http://cat2.edu.kagoshima-u.ac.jp/Text/public/Ph …」の例題2の所
に円錐の重心の求め方がそっくり載っています。
両者とも円錐の底面の中心を原点にとり、頂点を(0,0,h)にとっていて、質問の問題の円錐とは上下反対になっている他は全く同じです。
それによると重心の位置は、底面の中心から、h/4の高さの所にあります。
今回の質問の円錐の置き方の場合の重心の座標はG(0,0,3h/4)となります。

一様な物質で出来た円錐の重心の位置の座標を(0,0,g)とすると
g=∫[V] zdV/∫[V] dV
=(π∫[0,h]{z(a/h)}^2 zdz)/(π∫[0,h]{z(a/h)}^2 dz)
=∫[0,h]{z(a/h)}^2 zdz/∫[0,h]{z(a/h)}^2 dz
=∫[0,h]　z^3 dz/∫[0,h] z^2 dz
={(h^4)/4}/{(h^3)/3}
=3h/4
と積分を計算して得られます。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2011/12/01 17:49

　ちょっと慣れればいきなり積分の式が書き下せるようになると思いますが、できないうちは区分求積法を使うといいんじゃないかな。

　円錐の密度をρとしましょう。
　z軸をΔz刻みにして薄切りにしますと、円錐は沢山の円錐台に切り分けられますが、Δzがうんと小さいとすれば、それぞれの円錐台は円盤だと思うことができるでしょう。z=(n-1)Δz～nΔzの所にある薄切り円盤s(n)は半径r(n)=(a/h)(n-(1/2))Δz、厚みはΔz。
こういう薄切りがいっぱい出来たわけで、薄切りs(n)の重心は(0,0,(n-(1/2))Δz)にあり、その質量(w(n)Δz)は
　　w(n)Δz = ρπ((r(n))^2)Δz
従って、円錐全体の重心(gx, gy, gz)はgx=gy=0であり、そして
　　gz = [Σ{n=1～h/Δz}(n-(1/2)) w(n)Δz ] / [Σ{n=1～h/Δz}w(n)Δz ]
である。
　次に、Δz→0の極限を取ると、右辺のふたつのΣ{n=1～h/Δz}…Δzは定積分∫[z=0～h]…dzで置き換えられます。あとはできるでしょう。

　でもこれが大学数学？うーむ…