中学三年生の息子の数学の作図の問題です。

Question

中学生の息子の問題です。私は半分はわかりましたが、後半が分かりません。お教えください。

直線L(エル)の外に異なる二点A,Bがある。A,Bを通り、直線Ｌ(エル)に接する円をかけ。コンパスと定規のみで作図せよ。

私は、こう考えました。円をかけとは、中心Ｏ(オウ)を見つければよい。中心Ｏ(オウ)は二点A,Bから等距離にある。よって、中心O(オウ)は二点(A,B)の垂直に二等分線上にある。直線L(エル)との関係が分かりません。

どうかお教えください。

momordica · Accepted Answer

#5さん、#11さんともに、方べきの定理を利用して、直線ABとLの交点からの
距離を元に求める円とLとの接点を求める作図法ですね。
ちなみに、#2さんの引用先の作図法は私が投稿したものなのですが、基本的に
#11さんの書かれたものと同じです。
ちなみに、手順として、#5さんの方法より特に楽なわけではありません。

しかし、実際に作図する場合、直線ABと直線Lが平行に近い位置関係であると、
両者の交点がはるか遠方になり、現実的にはこれらの方法では作図できません。
ということで、ABとLの交点を利用しない作図法の一例を挙げておきます。

ABの垂直二等分線Mを引き、直線Lとの交点をCとする。
　M上に勝手な点Dをとり、DからLにおろした垂線の足をEとする。
　Dを中心としEを通る円を書き、直線BCとの交点をF, Gとする。
　Bを通りDF, DGと平行な直線を引き、Mとの交点を、H, Iとする。
　　（添付図ではIは図の範囲外になっています）
　H, Iを中心としてBを通る円を書けば、それらが条件を満たす2円になります。

この作図法では、逆に直線ABがLに垂直に近い場合は作図が難しくなります。
したがって、直線Lと2点A,Bとの位置関係により作図法を選べばよいと思います。

htms42 · Answer

作図の手順を書きます。多分＃５様の方法よりも簡単だと思います。

ＡＢの垂直二等分線上に中心があることは分かっています。
直線Ｌとの接点が求まれば中心は決まります。

・２点Ａ，Ｂを結んで延長します。直線Ｌとの交点をＣとします。
・ＡＢを通る任意の円を書きます。（あまり極端でない円がいいです。）
・Ｃから円に接線を引きます。接点をＤとします。
・直線Ｌ上にＣＭ＝ＣＤとなるような点Ｍを取ります。
　Ｍが求める円と直線Ｌの接点です。
・Ｍに立てた垂線とＢＡの垂直二等分線との交点が求める円の中心です。

banakona · Answer

＃５、＃８です。

再び補足。
＃５で「ＡやＢがある方ね」と書きましたが、無い方でもいいです。
「無い方」だと、答えの円の大半が図の左側と下側にハミ出る非常に大きなものになります。
つまりＡＢがＬに平行でない場合は、答えの円は二つ描けることになります。

hrsmmhr · Answer

すみません
大変大きな間違いをしてましたので訂正します

二行目のPからMに垂線を下ろすと書いてしまいましたが
正しくは

Pを通る直線Lに垂直な線Kを引いて
直線Mとの交点をQにする

です、それにともない

直線Mと直線Nのなす角

は

直線Kと直線Nのなす角

と変更します

あと、こちらはお分かりになるかと思いますが
角QPRをずらすというのは、点Aを中心に角QPR回転させるという意味です

banakona · Answer

＃５です。

お分かりとは思いますが念のために補足します。

直線ＡＢがＬに平行な場合、Ｃが存在しません。
この場合は、線分ＡＢの垂直二等分線とＬの交点をＨとすれば、Ｈが件の円とＬの接点になるので簡単。△ＡＢＨの外接円が求める円なので、例えばＡＨの垂直二等分線を描いて、線分ＡＢの垂直二等分線との交点を求めれば、これが円の中心Ｏとなる。

hrsmmhr · Answer

違うかもしれませんが

ABの垂直二等線Mをひいて、直線L上にPをとり
垂線をMに下ろして、垂線の足をQとして
APの垂直二等線Nを引いてMとの交点をRとします

点Pが目的なら、一連の作図でできる直線N上にQがくる必要があります
それは結局直線NとPRのなす角と直線Mと直線Nのなす角が等しくなるときで
その角度の差は角QPR分なので

直線APから角QPR分ずらした直線を作図して
直線Lとの交点を新たにPとすれば、上と同様にして作図される点Qが答えの円の中心だと思います。

misawajp · Answer

＃４　問題誤読

中心がL上ではなく、Lにも接する円ですね

中心は　ABの中点を通る垂線上にあります

A,B,Xを中心とする三つの円が接する点が中心の円になります

A,B,Xを中心とする径の異なる円を二つずつ描き　その円の交点（AとB、AとX、BとXの）を通る直線を延長し、それが交わったところが求める中心Oになります

言葉ではうまく説明できないのですが・・・

banakona · Answer

直線ＡＢとＬの交点をＣとし、ＡＢＣの配置が下図のようになっているとする。

ＡＢをＢ方向に延ばしてＡＣ＝ＢＤとなる点Ｄを取る。
ＣＤを直径とする赤い円を描く。
ＣＤの垂線をＢから引き、赤い円との交点をＥとする。
ＢＥ＝ＣＦとなる点ＦをＬ上に取る（ＡやＢがある方ね）。
Ｌの垂線をＦから引き、ＡＢの垂直二等分線との交点をＯとする。
ＯＦを半径とする円を描く（作図終了）

と手順は示せるんだけど、方べきの定理でＣＡ・Ｃ Ｂ＝ＣＦ^2となる点Ｆを求めたり、ＣＦの長さを出すためにＢＥを作図するあたりは中3には難しいかも。

前者は△ＣＦＡと△ＣＢＦが相似である（接弦定理を使うと簡単）ことから言える。
後者は△ＣＢＥと△ＤＢＥが相似であることから言えるけど、「これらを証明せよ」ならまだしも、「これらを利用せよ」と言うことなく作図せよは相当むずかしいと思う。

misawajp · Answer

A,Bから　直径が　線分ABより大きい円を描く（おなじ直径の）

その円は2点で接するから、その2点を通り直線Lに届く直線を引く

その直線と直線Lの交点（X)を中心にして、半径XAまたはXB　の円を描く（XA=XBとなっている）

コンパスと定規だけしか使用しない（ただし鉛筆も）

ferien · Answer

>直線L(エル)の外に異なる二点A,Bがある。A,Bを通り、直線Ｌ(エル)に接する円をかけ。コンパスと定
>規のみで作図せよ。
>
>私は、こう考えました。円をかけとは、中心Ｏ(オウ)を見つければよい。中心Ｏ(オウ)は二点A,Bから
>等距離にある。よって、中心O(オウ)は二点(A,B)の垂直に二等分線上にある。直線L(エル)との関係が>分かりません。

直線Ｌ(エル)に接する円をかくためには、Ｌに垂線を引いて交点を接点とし、中心が垂線上にあり、接点を通るように円をかかなければならないので、最初から与えられているＬとＡ，Ｂに対して接する円をかくのは無理なのではないかと思います。
円の中心が偶々ＡＢの中点になっていて、中心から接点までの距離と、中心からＡ、Ｂまでの距離が
偶々一致していることなどは考えにくいからです。
Ｌ上に中心があり、Ａ，Ｂを通る円なら、どのようなＬ、Ａ，Ｂに対してもかけます。

問題の図を見ていないので、何とも言えませんが。。

中学三年生の息子の数学の作図の問題です。

#5さん、#11さんともに、方べきの定理を利用して、直線ABとLの交点からの

作図の手順を書きます。

＃５、＃８です。

すみません

＃５です。

違うかもしれませんが

＃４ 問題誤読

直線ＡＢとＬの交点をＣとし、ＡＢＣの配置が下図のようになっているとする。

A,Bから 直径が 線分ABより大きい円を描く（おなじ直径の）

>直線L(エル)の外に異なる二点A,Bがある。

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A,Bから　直径が　線分ABより大きい円を描く（おなじ直径の）