アークサイン等の求め方

微分積分の範囲で
アークサイン　アークコサイン　アークタンジェント
が出てきたのですが、この３つの求め方が分かりません。
参考書（石村園子　著　　やさしく学べる微分積分）　の図を見ても、あまりよくわからないです。
どなたか、簡単な求め方がありましたら、是非ともご教授お願いします。


ちなみに…
「アークサイン　√3/2　を求めなさい」
ぐらいの問題も分からないレベルです。

No.10 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/10/28 22:53

閉店前の閑散時に便乗して、もう少し雑談。

「アークサイン　√3/2 」のような特別ケースでなく、ポンとサイン値を与えられたとき、辺長比から角度 (弧度) を知るための主な道筋は二つ。
一つが「三角関数表」を逆引きする「アーカイブ」流、もう一つはなんとか勘定してみる「アルゴリズム」流。「アーカイブ」ですませるのがふつうで、実務の場面では当方も「アーカイブ」派ですけど…。

他方、逆三角関数値の求め方を訊ねる Q&A も散見されます。回答に逆引き策ばかり出されているとき、ここに連ねてみた「アルゴリズム」を対案として書いてみても、質問者のかたがスンナリ納得するのは、やはり「アーカイブ」流のほうですネ。

「アルゴリズム」は目新しいものでなく、円に内接する正多角形の全辺長から円周率の近似値を導いたアルキメデス以来の古典的な方法。「ピタゴラス」方式の四則演算と開平を使う勘定法です。

変形としては、sinc(x) = sin(x)/x の無限乗積、
　∞
　Π cos(x/2^k) = sin(x)/x　　　…(*)
　k=1
もあるようです。
与えられた sin(x) に対するアークサインが x 。
sin(x) から cos(x) を算出したあと、半角算式を連用すれば、(*) の左辺を勘定できます。
∞ までは行けませんので、有効桁内で cos(x/2^k) が 1 に達したところで打ち切り。
そのときの左辺の sin(x) へ「弦長」を入れれば、x すなわち「弧度」が得られるわけです。

探してみれば、ほかにも有るのでしょうが、はて…？

　　　

No.9 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/09/14 12:23

更なる蛇足、です。

>「アークサイン √3/2 を求めなさい」

cos の 4 倍角算式、
　cos(4θ) = 8*cos^4(θ) - 8*cos^2(θ) + 1　　　…(*)
を利用すると、「アークサイン」の 4 分角を 2 次方程式解法で得られる。
桁落ちを回避しながら (*) を解いてみた。

[メモ]
cos(4θ) = √(1 - sin^2(4θ)) なので、これを c として (*) へ放り込むと、
　8*(1-u^2)^2 - 8*(1-u^2) + (1-c) = 0
なる u = sin(θ) の方程式になる。

EXCEL での 4 分角を勘定してみました (アークサイン(√3)/2) 。
前稿の半角による勘定例と比べてみてください。
当然ながら倍速化され、半分の n = 1 ダースで EXCEL の桁数限界に到達してます。
d (**) = (Sn^2)/{1+√(1-Sn^2)}

　　　　　= Sn
　 n　　sin_θ/4^n　　　d (**)　　　　　θ
　--　　---------　　---------　　------
　 0　　8.660E-01　　5.000E-01
　 1　　2.588E-01　　3.407E-02　　1.0353
　 2　　6.540E-02　　2.141E-03　　1.0465
　 3　　1.636E-02　　1.339E-04　　1.0472
　 4　　4.091E-03　　8.367E-06　　1.0472
　 5　　1.023E-03　　5.229E-07　　1.0472
　 6　　2.557E-04　　3.268E-08　　1.0472
　 7　　6.392E-05　　2.043E-09　　1.0472
　 8　　1.598E-05　　1.277E-10　　1.0472
　 9　　3.995E-06　　7.979E-12　　1.0472
　10　　9.987E-07　　4.987E-13　　1.0472
　11　　2.497E-07　　3.117E-14　　1.0472
　12　　6.242E-08　　1.948E-15　　1.0472

　　　

No.8 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/09/06 08:38

蛇足~3 です。

。

>「アークサイン　√3/2　を求めなさい」

EXCEL にて、半角算式、
　sin(θ/2) = x/√[2*{1 + √(1-x^2)}]
を繰り返した (x = (√3)/2) の結果一例でも。

　 n　　sin_θ/2　　　 θ
　---　 --------　　　---
　0　　 8.660E-01
　1　　 5.000E-01　　1.0000
　2　　 2.588E-01　　1.0353
　3　　 1.305E-01　　1.0442
　4　　 6.540E-02　　1.0465
　5　　 3.272E-02　　1.0470
　6　　 1.636E-02　　1.0472
　7　　 8.181E-03　　1.0472
　8　　 4.091E-03　　1.0472
　9　　 2.045E-03　　1.0472
　10　　1.023E-03　　1.0472
　11　　5.113E-04　　1.0472
　12　　2.557E-04　　1.0472
　13　　1.278E-04　　1.0472
　14　　6.392E-05　　1.0472
　15　　3.196E-05　　1.0472
　16　　1.598E-05　　1.0472
　17　　7.989E-06　　1.0472
　18　　3.995E-06　　1.0472
　19　　1.997E-06　　1.0472
　20　　9.987E-07　　1.0472
　21　　4.993E-07　　1.0472
　22　　2.497E-07　　1.0472
　23　　1.248E-07　　1.0472
　24　　6.242E-08　　1.0472

n が半角算式の適用回数。
θ= (2^n)*sin_θ/2 。

n = 2 ダースほどで、 EXCEL の桁数限界に達してます。
ちなみに、1.0472 ≒ π/3 。

　　　

No.7 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/09/04 11:02

蛇足に次ぐ蛇足で、蒙御免。

>　sin(θ) = x からスタート。 　sin(θ/2) = √[{1 - √(1-x^2)}/2] を勘定。

いかにも桁落ちしそうなこの式を、そのまま使ったワタシがワルかった。

　sin(θ/2) = √[{1 - √(1-x^2)}/2] = x/√[2*{1 + √(1-x^2)}]
と変形すれば、スプレッドシートの有効桁をキープできるのでした。

脇道も、ここらが行き止まり…。

　　　

No.6 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/09/03 19:06

#3 です。

>asin(x) が何度 (何ラジアン) なのか？
>ふつうは、「三角関数 (正弦) 表などで x を逆引きする」などせずには判りません。

asin(x) は、辺比 (垂辺/斜辺) = x に相当する角度θ。
このθは単位円において切り取られる円弧長に相当します。
辺比と円弧長が異なるのは当然ですけど、その差を縮める一つの手がθを細分していく方法です。
sin(θ)/θ が θ→0 で 1 に収束することを利用するわけ。

繰り返し計算を敬遠しなければ、asin(x) に近づいていく勘定法を試せるでしょう。
スプレッドシートなどで手軽に試行できそうな一例でも…。
　sin(θ) = x からスタート。
　sin(θ/2) = √[{1 - √(1-x^2)}/2] を勘定。
これで、θを 2 分したときの正弦値が得られます。
これを繰り返し、その都度得られた正弦値を倍々していけば、sin(θ) = x のθに接近していく。

単純な二分法なので精度はイマイチ？
ふつうのスプレッドシートで試すと、1 ダースほどの「二分操作」で有効 8 桁程度。
ほかにも、いろんな手があるかも…。

　　　

No.5 回答者： info22_ 回答日時： 2012/09/03 14:22

アークサイン　アークコサイン　アークタンジェント

は
sin, cos, tan に戻して考えれば良いでしょう。

以下の代表的なアークの三角関数の値はすぐ出せるようにしておきましょう。

sin^-1(t)の取りうる範囲（主値という）は
　-90°≦sin^-1(t)≦90° または -π/2≦sin^-1(t)≦π/2
です。

x=sin^-1(√3/2) ⇒ sin(x)=√3/2 ⇒ x=60°=π/3[rad]
x=sin^-1(1/2) ⇒ sin(x)=1/2 ⇒ x=30°=π/6[rad]
x=sin^-1(1/√2) ⇒ sin(x)=1/√2 ⇒ x=45°=π/4[rad]

cos^-1(t)の取りうる範囲（主値という）は
　0°≦cos^-1(t)≦180° または 0[rad]≦cos^-1(t)≦π[rad]
です。

x=cos^-1(√3/2) ⇒ cos(x)=√3/2 ⇒ x=30°=π/6[rad]
x=cos^-1(1/2) ⇒ cos(x)=1/2 ⇒ x=60°=π/3[rad]
x=cos^-1(1/√2) ⇒ cos(x)=1/√2 ⇒ x=45°=π/4[rad]

tan^-1(t)の取りうる範囲（主値という）は
　-90°≦tan^-1(t)≦90° または -π/2[rad]≦tan^-1(t)≦π/2[rad]
です。

x=tan^-1(√3) ⇒ tan(x)=√3 ⇒ x=60°=π/3[rad]
x=tan^-1(1/√3) ⇒ cos(x)=1/√3 ⇒ x=30°=π/6[rad]
x=tan^-1(1) ⇒ tan(x)=1 ⇒ x=45°=π/4[rad]

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2012/09/03 14:14

(続き)

三角関数には、周期性がありますから、
x = sinθ となる θ の値を偶々ひとつ知っていれば、
arcsin x が取り得る全ての値を知ることができます。
arcsin x = θ+2nπ または -θ+(2n+1)π
ただし n は任意の整数 です。

Y = sin X のグラフを見れば判るように、
sin の逆関数を定義するためには、
sin X が一意になるように適当に X の範囲を制限して、
その範囲の sin の逆関数を arcsin とする必要があります。
このとき選んだ範囲に対応して、適切な n を
上記の式に当てはめればよいのです。

arccos, arctan についても同様に、
x = cosθ ⇒ arccos x = ±θ+2nπ
x = tanθ ⇒ arctan x = θ+nπ
から求めることができます。

そのような θ を知らなかった場合は、逆三角関数のような
超越関数の値を厳密に求める方法はなく、
級数展開などを使って近似値を求めるくらいが最善となります。
arcsin x = Σ[n=0→∞] {(2n)!}/{(4^n) (n!)^2 (2n+1)} x^(2n+1)
arccos x = π/2 - arcsin x
arctan x = Σ[n=0→∞] {(-1)^n}/(2n+1) x^(2n+1)
あたりの式を有限項で打ち切って、近似値を求めます。

No.3 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/09/03 13:19

>「アークサイン　√3/2　を求めなさい」　ぐらいの問題も分からない…

asin(x) が何度 (何ラジアン) なのか？
ふつうは、「三角関数 (正弦) 表などで x を逆引きする」などせずには判りません。

アークサイン (√3/2) の角度を「作図して感じをつかもう」というのなら、
斜辺長 = 1, 垂辺長 = √3/2 の三角形を作図してみる手があります。
1 cm, 0.866 cm じゃ小さすぎ！ というなら、10 cm, 8.66 cm などと、拡大しても角度は不変。
感じぐらいはつかめます。
底辺は 5 cm 位になり、考えてみれば、正三角形の半片だとわかる。

肝心の角度θ (ラジアン) は asin (x) なのですが、x = (底辺/斜辺) を頼りに、
何らかの方法で勘定しないと知り得ません。
底辺/斜辺 = √3/2 、つまり「正三角形の半片」の例なら、その角度θ は
半円にちょうど三つはまる角度です。
つまり、単位円 (半径が 1 の円) の半円周 = π に三つはまる角度θ。
この関係が判る稀有な一例なので、θ= π/3 radian = 60 degree と勘定できるのです。

　　　

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2012/09/03 01:42

A No.1 の例を見ても解るように、

答えを知っていないと、値は出せません。
任意の x に対する arcsin x を計算する方法は無く、
テイラー展開でもして近似値を求めるのが、せいぜいです。
arccos や arctan についても、同様です。

No.1 回答者： asuncion 回答日時： 2012/09/02 19:56

arcsin(√3/2)

sin(θ)=√3/2 となるような角θを求めることを意味します。
sinのところでさんざん出てきた（と思います）、例の1：2：√3の直角三角形を書きます。
sin、つまりy座標/斜辺=√3/2となるようにこの三角形を書いたとき、θは何度でしょうか。