数学・積分の問題について途中式と解答お願いします。

やってもらいたいのは印がついている６番の問題です。

No.5 ベストアンサー 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/11/01 19:38

積和の公式より2sin(ax)cos(bx)=sin{(a+b)x}+sin{(a-b)x}

∫2sin(ax)cos(bx)dx=∫sin{(a+b)x}dx+∫sin{(a-b)x}dx

=-cos{(a+b)x}/(a+b)-cos{(a-b)x}/(a-b)　（積分定数省略）

No.4 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/11/01 17:48

ANo.3は無視して下さい。

ご迷惑をおかけしました。
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB
sin(A+B)+sin(A-B)=2sinAcosB
∫2sin(ax)cos(bx)dx=∫sin(ax+bx)dx+∫sin(ax-bx)dx
ax+bx=t、(a+b)dx=dt
ax-bx=s、(a-b)dx=ds
∫sin(ax+bx)dx={1/(a+b)}∫sin(t)dt={1/(a+b)}(-cost)
∫sin(ax-bx)dx={1/(a-b)}∫sin(s)ds={1/(a-b)}(-coss)
∫2sin(ax)cos(bx)dx
={-1/(a+b)}{cos(ax+bx)}-{1/(a-b)}{cos(ax-bx)}
=[{-1(a-b)}{cos(ax+bx)}-{1(a+b)}{cos(ax-bx)}]/(a^2-b^2)
=[(b-a){cos(ax)cos(bx)-sin(ax)sin(bx)}
-(a+b){cos(ax)cos(bx)+sin(ax)sin(bx)}]/(a^2-b^2)
={-2/(a^2-b^2)}{bsin(ax)sin(bx)+acos(ax)cos(bx)}+C
C(積分定数）

No.3 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/11/01 15:14

部分積分を2回行います。

∫2sin(ax)cos(bx)dxを与式とする。
-(1/a)cos(ax)cos(bx)をxで微分すると
{-(1/a)cos(ax)cos(bx)}'=sin(ax)cos(bx)-(b/a)cos(ax)sin(bx)
両辺を積分すると、左辺は微分の積分だから
-(1/a)cos(ax)cos(bx)=(1/2)*与式-(b/a)∫cos(ax)sin(bx)dx
よって
与式=-(2/a)cos(ax)cos(bx)+(2b/a)∫cos(ax)sin(bx)dx・・・(1)
ここで(1/a)sin(ax)sin(bx)をxで微分すると
{(1/a)sin(ax)sin(bx)}'=cos(ax)sin(bx)+(b/a)sin(ax)cos(bx)
両辺を積分すると
(1/a)sin(ax)sin(bx)=∫cos(ax)sin(bx)dx+(b/a)∫sin(ax)cos(bx)dx
=∫cos(ax)sin(bx)dx+(b/2a)*与式
よって∫cos(ax)sin(bx)dx=(1/a)sin(ax)sin(bx)-(b/2a)*与式
これを(1)の右辺2項に代入すると
与式=-(2/a)cos(ax)cos(bx)+(2b/a){(1/a)sin(ax)sin(bx)-(b/2a)*与式}
{1+(2b/a)(b/2a)}*与式=-(2/a)cos(ax)cos(bx)+(2b/a)(1/a)sin(ax)sin(bx)
{(a^2+b^2)}*与式=-2acos(ax)cos(bx)+2bsin(ax)sin(bx)
与式={2/(a^2+b^2)}{bsin(ax)sin(bx)-acos(ax)cos(bx)}・・・答え

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2012/11/01 14:31

部分積分がしたければ、とめはしないけど。

No.1 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2012/11/01 10:42

積和の公式を使うだけでは？