確率の問題です。教えて下さい！

1個のさいころを1回投げて、出た目の数をＸとする。座標平面上において、点Ｐは
最初、原点Ｏにあり次の規則に従って点Ｐの位置を定める。
｛規則｝
Ｘ＝１，２，３のとき移動しない
Ｘ＝４，５のときｘ軸の正の方向に１だけ移動する。
Ｘ＝６のときｙ軸の正の方向に１だけ移動する。
このとき、さいころを3回投げ終わったときの点Ｐの位置について考える。
点Ａの座標を（２，０）とする。三角形ＯＡＰが直角三角形になる確率を求めよ。

まったく手が動きません・・・
詳しく教えて下さい！！

No.3 ベストアンサー 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/12/29 18:26

ANo.2です．移動の仕方を考慮し忘れていました．正しくは以下のようになります．

x軸方向に1移動する回数をk

y軸方向に1移動する回数をl

とすると，

移動しない回数3-k-l

よって

（☆）P(k,l)である確率：{(k!l!(3-k-l)!)/3!}(1/3)^k(1/6)^l(1/2)^{3-k-l}

k≧0,l≧0,3-k-l≧0であるから三角形OAPが直角三角形になるPは図(x≧0,y≧0,x+y≦3の部分)から，

P=(0,1),(0,2),(0,3)（以上∠Oが直角）,(1,1)（∠Pが直角）,(2,1)（∠Aが直角）

よって求める確率は上の場合について☆を加えて

3(1/6)(1/2)^2+3(1/6)^2(1/2)+(1/6)^3+6(1/3)(1/6)(1/2)+3(1/3)^2(1/6)

=85/216

No.6 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/12/29 19:25

ANo.3の補足です．☆の式は組み合わせの式で書くと

☆_{3}C_{k}・_{3-k}C_{l}(1/3)^l(1/6)^k(1/2)^{3-l-k}

でこの係数は

_{3}C_{k}・_{3-k}C_{l}=(3!/{k!(3-k)!})・(3-k)!/{l!(3-k-l)!}=3!/{k!l!(3-k-l)!}

となります（ANo.3では分母分子が逆でした．その後の計算は正しく行っています）．これは

左辺：3回の移動のうち→の移動がk回，残り3-k回の移動のうち↑の移動がl回（残り3-k-l回は移動しない）

右辺：k個の「↑」，l個の→，(3-k-l)個の「留まる」同じものを含む順列

となっています．

※当然k+l≦3なる0以上の整数(k,l)について☆の和(例えばΣ_{k=0}^3Σ_{l=0}^{3-k})をとると1になります．

No.5 回答者： TOHOKUEAGLESNO1 回答日時： 2012/12/29 19:09

追記。

３回トライするんですから

(X,Y)=(0,3)(0,2),(0,1),(0,0),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1)

辺りを考慮すればよかったんでは？


(0,3)(0,2),(0,1)辺りなんか明らかに直角ですよ。

角AOPのおかげで。

(2,1)だって同じ。角OAPのおかげですよ。

(1,1)はちょっと計算必要ですが。

きちんと場合分けすることを考えましょう。

ケースシンキングとでも言えばいいでしょうか。(僕の本来の得意科目は英語です)

以前気をつけるって言ってませんでしたっけ？


あなたの名前は日本語にすると「輝ける光」のはず。

これで輝ける光が来るんでしょうか？

You should think more about what you've done here.

No.4 回答者： TOHOKUEAGLESNO1 回答日時： 2012/12/29 18:59

ルールは…

Ｘ＝１，２，３のとき移動しない

←これをzとしましょう。（英語のzeroより）

Ｘ＝４，５のときｘ軸の正の方向に１だけ移動する。

←これをOX(英語のOneとx軸より）とします。


Ｘ＝６のときｙ軸の正の方向に１だけ移動する。
←これを0Y（英語のOneとｙ軸から）としましょう。


点AはX軸上にあります。（X=2のところ）



まずzが３回じゃあ三角形にならんのでこれは飛ばして図書きます。

それからOYが１回は来ないと三角形できないんでこれは必ず使います.

z-z-oy(これでX＝0,Y=1にいることになり、角AOPが９０度なので直角三角形)

確率にして（1/2)"(1/6)=1/24

さらにこれは並べ替え可能なので3C2=3通り。(前にもこんなこと書いたな・・)

よって３×（1/24)=1/8・・（１）

Z-OY-OY（X=0, Y=2となり、角AOPが９０度なので直角三角形)

確率にして（1/2)(1/6)"=1/72

さらにこれは並べ替え 3C2=3通り。

よって3×(1/72)=1/24 ・・（２）


OY-OY-OY（これでX=0,Y=3のところにPがあり、角AOPが９０度なので直角三角形)

確率は（1/6の３乗)＝1/216・・（３）


OX-Z-OYのとき、
（PはＸ=1,Ｙ＝１のところにおり、Ｐから垂線おろすと三平方の定理よりOP=√２、PA=√２、さらに斜辺OAが２なので、１：１：√２の直角三角形。）

確率は、(1/2)(1/3)(1/6)＝1/36

さらに、OX-Z-OYは並べ替えなので、3!=6通り。

６×（１/36)=１/6・・（４）


OX-OY-OY

これも三平方で計算してみましたが、直角三角形になりそうにないので不採用。


OX-OX-OYのとき、

これは明らかに角OAPが90度であり、直角三角形。

確率は（1/3)"(1/6)=1/54

並べ替えで3×（1/54)=1/18・・（５）


（１）、（２）、（３）、（４）、（５）足して

85/216と出ましたが、どうでしょうか？

この回答へのお礼

丁寧な解説ありがとうございます。
すごく助かりました！

お礼日時：2012/12/29 19:29

No.2 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/12/29 12:59

x軸方向に1移動する回数をk

y軸方向に1移動する回数をl

とすると，

移動しない回数3-k-l

よって

（☆）P(k,l)である確率：(1/3)^k(1/6)^l(1/2)^{3-k-l}

k≧0,l≧0,3-k-l≧0であるから三角形OAPが直角三角形になるPは図のように

P=(0,1),(0,2),(0,3),(1,1),(2,1)

よって求める確率は上の場合について☆を加えて

(1/6)(1/2)^2+(1/6)^2(1/2)+(1/6)^3+(1/3)(1/6)(1/2)+(1/3)^2(1/6)

=23/216

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/12/29 02:04

P はどこであればいい?