級数の計算

スーパーコンピュータよりも遥かに高性能な計算機を考えます。
それによって、ほぼ無限の計算が可能と仮定します。

f(x)=Σ[n=1,∞]sin((2n-1)x)/(2n-1)
という関数を定義すると、f(π)=0 となるのが分かります。

さて、上で挙げた計算機を使って、同じ結果が得られるでしょうか？
ただし、計算機には誤差が存在しますので、
|f(x)|<10^-10
などのように示せば十分とします。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/02/11 14:31

「ほぼ無限の計算」って, どれだけ?

この回答へのお礼

どれだけと決めて答えが変わるとは思えないけど、では
１０＾３０回の四則演算
と決めます。

お礼日時：2013/02/11 15:26

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2013/02/11 21:55

∀x,｜f(x)｜＜ 10の-10乗 などの

∀ を含む定理を証明するのは、
数値計算だけでは原理的に無理で、
何を計算すれば証明したことになるのかを
人間が解釈してやるか、または、
計算機のプログラムが、形式論理による証明を
実現するようなものでなくてはならない。
要は、計算速度の問題ではなく、プログラムの
デキ次第だということ。

この回答へのお礼

> 何を計算すれば証明したことになるのか

> 形式論理による証明を実現

どちらも否定したつもりはないので、具体的に可能かどうかを述べてもらえますか？

人間だって公理がなければ何も証明できないので、プログラムにも公理に相当する部分があっても良いと思いますよ。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/02/12 09:17

No.3 回答者： ereserve67 回答日時： 2013/02/12 00:05

f(x)は

（☆）(π/4)sgn(x)(-π<x<π)(sgn(x)はxの符号)

を2π周期接続したものをフーリエ級数展開したものですね．

実際にこの無限級数f(x)の25項有限級数を普通のPCで描画(functionview)したら図のようになります．項数を増やすと連続点の部分がだんだん☆に近づき，不連続点のまわりのギブズ現象がよくわかります．

f(π)=0は計算機でもsin(2n-1)π=0を利用するでしょうからほとんど誤差はないでしょうね．連続点での値例えばf(π/3)を10^{-10}の精度で計算させると（Mathematica)

f(π/3)=0.7853981634≒π/4

となり，（この場合は）超スーパーコンピューターでなくとも十分な精度で計算できます．

この回答へのお礼

πを記号として扱う能力を持たせれば、sin(2n-1)π=0 の計算は可能でしょうね。
ただし、それは人間が答を用意しているのと等しい行為かもしれません。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/02/12 09:38

No.4 回答者： jmh 回答日時： 2013/02/13 03:26

> ほぼ無限の計算が可能と仮定します。

>
これってホントは「何をするにしても十分な」高速度性能ってことですよね。その計算機は（誤差など出さないで）貴方のと"同一の"証明を吐き出せそうな気がします。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90% …

この回答へのお礼

> これってホントは「何をするにしても十分な」高速度性能ってことですよね。

その解釈を否定するつもりはありません。

> その計算機は（誤差など出さないで）貴方のと"同一の"証明を吐き出せそうな気がします。

f(x)=π/4 や f(x)=-π/4 であることも誤差など出さないで証明してしまうかもしれません。
どれが正しいのか計算機が判断するためのルールをプログラムできるかが問題になるでしょうね。

ただし、sin((2n-1)π)=0 というルールは、あまりにもご都合主義的に感じられます。
πの定義とか、sin(x)の定義を元にして、計算機に証明して貰いたいものです。


回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/02/13 09:15