19チーム3つ巴戦の総当たりリーグ戦の組み方

野球の19チーム（仮にチームＡからチームＳ）で総当たりのリーグ戦をします。1日1グランドに3チームが集まり、第1試合Ａ対Ｂ，第2試合Ａ対Ｃ、第3試合Ｂ対Ｃ、のように3試合（各チーム2試合ずつと1試合は審判）の巴戦をするとします。すべての対戦カード試合数は、19×（19-1）÷2で171試合。1日3試合ずつ試合をするので171÷3で57回の試合日ができる事はわかるのですが、ＡからＳのチームそれぞれをどのように3つ選んで組み合わせれば３つ巴戦が57個できるのかを教えて下さい。

No.5 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2013/03/25 14:28

＞6個ずつの12組のアルファベットのならびがどうしてこの並びになっているのかがわかりません。

9チームの場合を考えると、9×8÷6=12で、３つ巴戦は12個になります。
その組み合わせは、
A,B,C
D,E,F
G,H,I
と並べて、横、縦、右下斜め、左下斜めの列を作ると、
ABC,DEF,GHI,
ADG,BEH,CFI,
AEI,BFG,CDH,
AFH,BDI,CEG
と12個できます。


19チームの場合は、7チームの方法と9チームの方法の複合になります。

Aを除く18チームを、
BC,DE,FG
HI,JK,LM
NO,PQ,RS
として、横、縦、右下斜め、左下斜めの列を作ったものがNo.3の並びになっています。


ただし、この方法を21チームや25チームに応用することはできないでしょう。
21チーム、25チームの場合は別の方法を考える必要があります。

この回答へのお礼

nag0720さん、ありがとうございました。実は私、あるソフトボールリーグの毎年の日程表作成を手伝っていまして、長い間21チームだったため毎年の日程表を考える時は、各チームをシャッフルするだけでよかったのですが、今年20チームになり、来年は、また1チーム減りそうなんです。20チームである今年は、昨年の日程表から抜けたチームがからんでる試合を消してその日は1試合のみの日とし今年は乗り切れるのですが、来年19チームになったら各チーム9回ずつの3つ巴総当たりのリーグ戦を組む必要があり、どのように組めばいいのかな？っと悩んでいたしだいです。nag0720さんのおかげで楽に日程表がつくれます。
なお、こんな私の質問にまっさきに考えるヒントをくださったたMagicianKumaさん、またカークマンの問題を提起していただいたalice-44さんありがとうございました。

お礼日時：2013/03/26 16:56

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2013/03/24 14:33

難しいね。

カークマンの問題が、使えるかなあ？

カークマンの女生徒の問題：
3n人を 3人× n組に組分けする。数回の組分けで、
全員を他の全員と一度づつ同じ組にすることが
できるか？ (カークマンの原題は、n=5.)

解法の詳細は、ここには書き切れない。
"カークマン 組分け" で google すれば、
群論的な背景も、具体的な解も見つかる。

結論だけ書くと、n が奇数のとき解があり、
偶数のときは解がない。
質問の問題に、架空のチームを２つ加えて
n=7 のカークマンの問題を解き、
何回めの組分けかを無視して、解を
3チームの組の集合と見る。その中から
架空のチームを含まない組だけを選び出せば、
各試合日の巴が得られる。

どう？

No.3 回答者： nag0720 回答日時： 2013/03/24 04:19

7チームで7個の３つ巴戦を作る方法は、

まず、3個のABC,ADE,AFGを作って、
あとの4個は、B,C,D,E,F,GからBDF,BEG,CDG,CEFを作る。

19チームで57個の場合も同じように考えることができます。

まず、9個のABC,ADE,AFG,AHI,AJK,ALM,ANO,APQ,ARSを作る。
あとの48個は、
B,C,D,E,F,G
H,I,J,K,L,M
N,O,P,Q,R,S
B,C,H,I,N,O
D,E,J,K,P,Q
F,G,L,M,R,S
B,C,J,K,R,S
D,E,L,M,N,O
F,G,H,I,P,Q
B,C,L,M,P,Q
D,E,H,I,R,S
F,G,J,K,N,O
からそれぞれ4個ずつ作る（4個の組み合わせの順番は7チームの場合と同じ）。

この回答への補足

nag0720さん明確な数学的回答をありがとうございます。きちんとした法則性があるんですね。ただ、よくわからない点があるので教えて下さい。回答文の中で“あとの48個は・・・”からの部分で
B,C,D,E,F,G
　　　・
　　　・
　　　・
の6個ずつの12組のアルファベットのならびがどうしてこの並びになっているのかがわかりません。
（特に4番目のB,C,H,I,N,O以降の部分）
その部分の法則性がわかれば、チーム数が21チームでも、25チームでもつくる事ができるのですが・・・

補足日時：2013/03/25 12:24

No.2 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2013/03/22 19:26

特定のチーム数(19)について関心があるのですね。

ひょっとして解があるかもしれないのでトライしてみますね。

No.1 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2013/03/21 23:19

Mission Imposible.

6チームで考えてみて。6*5/2=15試合で5日でできそうだが、毎日巴戦の組み合わせは作りようがない。

この回答への補足

早々にアドバイスありがとうござうます。ただ、6チームのように偶数チーム数だと2試合ずつ試合をすることができません。そこで7チームで考えてみます。7×（7-1）÷2÷3で7回の試合日数となります。
仮に7チームをＡ～Ｇとすれば、
（A対B、A対C、B対C）（A対D、A対F、D対F）（A対E、A対G、E対G）（B対D、B対E、D対E）
（B対F、B対G、F対G）（C対D、C対G、D対G）（C対E、C対F、E対F）
となり、巴戦7つできました。
これを応用して、もし6チームならどうするか？も考えてみました。仮に6チームをＡ～Ｆとすれば、上記の7つの巴戦の組み合わせの中から、Ｇがらみの試合を消し、
（A対B、A対C、B対C）（A対D、A対F、D対F）（A対E）（B対D、B対E、D対E）（B対F）（C対D）
（C対E、C対F、E対F）
となり、4つの巴戦と各チーム1試合ずつの試合日が1回ずつできました。
今回、MagicianKumaさんには、考えるヒントを頂けたと感謝してます。再度、自分なりにも課題である19チームの場合を考えてみます。

補足日時：2013/03/22 09:30