モンティホール問題ではなくて…

　某QAサイト数学カテゴリー常連であるA山,B場,C葉の三人が、某武装組織に誘拐された。武装組織の連中は日本人の顔なんか見分けがつかないと言って、三人の服にA, B, Cとペンキで大書した。さて、慌てた日本政府が大金を払うというので、武装組織は人質を返すと約束した。
　三人に向かって武装組織の親玉いわく「我々が神に誓って約束を守るということは、お前らも知っているだろう。だが、全員返すという約束などしていない。解放するのは一人だけだ。残りは射撃の的にする。誰を解放するかって？もう、くじ引きで決めた。でも知らない方が幸せだろう？けけけけけけ。」
　＊
　C葉が連れて行かれて、バン！バン！バン！射殺されてしまった。
　A山は考えた。「解放される一人に自分がアタル確率は1/3だ。しかしC葉さんは可哀想にハズレだったから、B場さんが解放される確率は今や2/3だ。モンティホール問題なら、ここで選択を変える、ということができるのになあ。ああ、B場さんになりたい。」
　もちろんB場も同じことを考えたので、二人は急いで服を交換した。そう、連中は日本人の顔なんか見分けがつかないのだ。
　A山は、自分が助かる確率が2倍になって、ちょっとだけ幸せ。
　B場も、自分が助かる確率が2倍になって、ちょっとだけ幸せ。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

(1) この話、おかしいですよね。A山とB場の考えは互いに矛盾している。モンティホール問題とどこがどう違うんでしょうか？

(2) ＊のところに、
＊【C葉は食い下がった。「もし私が射撃の的に決まっているのなら、先に殺してくれ！」親玉は驚いた顔をしたが、深々と一礼し、「それがブシドーってやつか？分かった。約束しよう。そして敬意を以て、さっそく約束を果たしてやろう。」】
という段落が入った場合は、どうでしょうか？

(3) ＊のところに、
＊【A山は食い下がった。「もし自分が射撃の的に決まっているのなら、殺すのは後にしてくれ。ちょっとでも長く生きたいんだ。お願いだー」親玉はげらげら笑って「なんという情けない奴だ。いいだろう、約束してやる」】
という段落が入った場合はどうなんでしょう？

頭こんぐらがってます。誰か助けて。

No.7 ベストアンサー 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2013/07/19 00:25

(1)親玉が殺す2名のどちらを選ぶかの情報がないので、無作為にどちらかを先に殺すとします。

そうすると起こりうる可能性は
A　B　C　　最初に選ばれる人
○　×　×　　B
○　×　×　　C　←実際に起きたこと
×　○　×　　A
×　○　×　　C　←実際に起きたこと
×　×　○　　A
×　×　○　　B
なので、そもそもA,Bの推論が間違っている訳です。A,Bとも助かる確率は1/2で服を交換しても変わらず。よって矛盾は発生しない。
　モンティホール問題との違いは、Aに対して、A以外の殺される人を最初に提示してくれる約束ではないこと。Bに対しても。

(2)(1)と状況変わらず。

(3)起こりうる可能性は
A　B　C　　最初に選ばれる人
○　×　×　　B
○　×　×　　C　←実際に起きたこと
×　○　×　　C　←実際に起きたこと
×　○　×　　C　←実際に起きたこと
×　×　○　　B
×　×　○　　B
なので、Aは服を交換した方が良い。（2/3になる）が、Bが＊の約束を知っていれば交換に応じないでしょう。
Bが＊の約束を知らないとすると。Bは(1)と同じ推論をするので、ひょっとしたら交換に応じるかも。Aは結構知能犯かも。

この回答への補足

御回答有難うございます。

(1)(2) : ○が解放される人、×が射殺されちゃう人、「最初に選ばれる人」ってのは最初に射殺されちゃう人、ということですね。これは分かり易いっす。

(3): 同じ行が二つ並んでる所がありますね。これは各行が1/6づつの確率を担う、という暗黙の前提があった上での記述かと思います。

　以下は質問じゃないんですが：
　実際には生じなかった「A山が最初に選ばれる」という『可能性があった(1)(2)かなかった(3)か』で話が違って来る、というのは、やっぱりどこか不思議な感じが残って面白いっす。

> Aは結構知能犯かも

　もしA山が知能犯なら、A山は「もしB場が射殺される運命なら、可哀想だからB場を後にしてくれ」という密約を取り付けたかも知れないなあ。あ、いや、「最初に射殺されなければもう安心」というのに賭けたC葉こそが一番の知能犯なのかも。
　ま、どうあがいても誰が助かるかは1/3ずつに違いないわけですが。

補足日時：2013/07/19 01:04

この回答へのお礼

とても明快なマトメ方を教えていただき、有難うございました。

お礼日時：2013/07/19 03:09

No.11 回答者： noname#181529 回答日時： 2013/07/19 13:01

昨日、2番目に回答した者です。

補足をもらったので、その後の回答ですでに解決しているかもしれませんが、答えます。

「Aが助かる場合でもBが助かる場合でも「Cが最初に殺される」確率が等しい」
という点はモンティホール問題と同じではないか？という疑問について。

モンティホール問題のドアをA、B、Cとして挑戦者がAを選んだ場合、
・Aが当たりなら、モンティホールは（普通おかれている仮定では）BとCを等確率で開ける。
・Bが当たりなら、モンティホールは確実にCを開ける。

つまり「モンティホールがCを開けた」という事実が「Bが当たり」であることを
不完全ながらも示唆するシグナルになっています。

対照的に、質問の(1)では次のように想定されているように思いました：
・Aが助かるなら、B、Cを殺す順番は等確率（つまりCが最初に殺される確率は1/2）。
・Bが助かるなら、A、Cを殺す順番は等確率（同上）。

ですから「Cが最初に殺された」という事実は、上のような意味でのシグナルとしては働きません。
つまり、Cが殺されたという条件の下で、Aが（Aの服を着たままで）助かる確率は1/2。

(2)の場合も、
・Aが助かるなら、Cを最初に殺す。
・Bが助かるなら、Cを最初に殺す。

というわけで、やはりCが殺された後でも、Aが（Aの服を着たままで）助かる確率は1/2、
と私は思います。

この回答へのお礼

詳しい御回答、ありがとうございます。

お礼日時：2013/07/20 00:47

No.10 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/07/19 09:32

A NO.4 です。

> 第3者
ってだれのことなんでしょう？

本来のモンティホールは参加者が3個のくじの中から
「あたり」を引くのが目的のシステム。
つまりくじとしそれを選ぶ人は別です。

同じにするには一工夫必要です。

> Aが射殺されないとすると、Aを選ばない確率は 2/3
って何のことでしょう？？

だれでもよいのですが、組織が最初に A を殺さないと決めた場合、
「参加者」が A を選ばない確率は 2/3。つまりはずれの可能性の方が高い。

この回答へのお礼

御回答有難うございます。

お礼日時：2013/07/20 00:48

No.9 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/07/19 08:15

モンティホールと同じにするなら以下の手順になるでしょうね。

1)組織が殺す2名をきめる。
2)Aが一人目で自分を殺さないように表明する。
3)組織はA以外を殺す。
4)Aと残ったもうひとりで服を交換する。
5)組織は1)で決めてあったもう１名を殺す。

1)でAが殺されると決まっていた場合はこの手順で助かるので
Aの助かる確率は2/3

この回答へのお礼

これは(3)のことですね。御回答有難うございました。

お礼日時：2013/07/20 00:49

No.8 回答者： aothegenus 回答日時： 2013/07/19 03:09

（４）＊Ｂ場は食い下がった。

「自分以外の奴をまず殺せ」

この回答への補足

(3)においてA山とB場を入れ替えたものですよね。で、だから何だと仰ってるんだか、はてさて、さっぱり分かりません～

補足日時：2013/07/19 03:14

No.6 回答者： pancho 回答日時： 2013/07/18 18:16

２番の方の回答が正しい様です。

後の方は、モンティホール問題との違いを説明できていません。

モンティホール問題の本質は、「Ｃがどうやって選ばれたのか」です。
今回の状況と話を合わせると、
　・質問者がＡを選択し
　・ＢとＣのどちらかから不正解（犠牲者）が明かされた
というのがモンティホールの状況です。
明らかにＡとＢは同等では有りませんね。

---------------------------------
で、（１）と（２）の状況ではＡとＢは同等で、最初は「１／３」の生存確率です。
その後、Ｃが犠牲者という事が解ったので、（Ｃが犠牲者という）条件付き確率になりＡ／Ｂとも「１／２」の生存確率に変化します。

（３）では、（Ａが犠牲者で有ろうとなかろうと）ＢかＣから先に犠牲者を出してくれ・・・という話になるので、モンティホール問題と本質的に同じ問題となり、Ａは「１／３」の生存確率のままで、Ｂは「２／３」の生存確率に変化しています。

理解できましたか？

以上。

この回答への補足

御回答、有難うございます。

今ひとつ飲み込めないところがあります。

> で、（１）と（２）の状況ではＡとＢは同等で、

　少なくともA山にとっては「同等」ではないだろうと思うんですけど。

> 最初は「１／３」の生存確率です。

> その後、Ｃが犠牲者という事が解ったので、（Ｃが犠牲者という）条件付き確率になりＡ／Ｂとも「１／２」の生存確率に変化します。

　ふうむむ。お説に従えば、モンティホール問題においても「最初はＡもＢも共に「１／３」の確率でアタリです。Cのカーテンが開いたので(Cがハズレという）条件付き確率になりＡ／Ｂとも「１／２」でアタリに変化します」という説明になってしまわないでしょうか。

> （３）では、（Ａが犠牲者で有ろうとなかろうと）ＢかＣから先に犠牲者を出してくれ

なるほど。そう言い換えると、(3)とモンティホール問題との同等性が分かり易くなりますね。

補足日時：2013/07/18 21:59

この回答へのお礼

御回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/07/20 00:50

No.5 回答者： Mathmi 回答日時： 2013/07/18 14:11

No1です

＞どんな服を着ていようが、全事象である「A山かB場のどちらかが開放される」の確率は1のはず
A山もB場も、最初に「自分が解放される」と予想している点で前提条件が異なるためです。

(開放される人,開放されると予想した人,最初に殺された人)=(確率)として全パターン書き出してみると、以下のようになります。
[01](A,A,B)=(1/3*1/3*1/2=1/18):C生存
[02](A,A,C)=(1/3*1/3*1/2=1/18):A視点で、交換しなければ助かる
[03](A,B,C)=(1/3*1/3*2/2=2/18):B視点で、交換すれば助かる
[04](A,C,B)=(1/3*1/3*2/2=2/18):C生存
[05](B,A,C)=(1/3*1/3*2/2=2/18):A視点で、交換すれば助かる
[06](B,B,A)=(1/3*1/3*1/2=1/18):C生存
[07](B,B,C)=(1/3*1/3*1/2=1/18):B視点で、交換しなければ助かる
[08](B,C,A)=(1/3*1/3*2/2=2/18):C生存
[09](C,A,B)=(1/3*1/3*2/2=2/18):C生存
[10](C,B,A)=(1/3*1/3*2/2=2/18):C生存
[11](C,C,A)=(1/3*1/3*1/2=1/18):C生存
[12](C,C,B)=(1/3*1/3*1/2=1/18):C生存

注意すべき点は「選択はC葉が殺される前になされている」「A山とB場では、解放されると(C葉が殺される前に)考えている相手が違う」という事でしょう。
ちなみに、C葉が殺された「後」に選択した場合は、服を交換しようがどうしようが、解放される確率は1/2です。

この回答への補足

再度の御回答、有難うございます。

2点、分からないところがあります。

> A山もB場も、最初に「自分が解放される」と予想している点で前提条件が異なるためです。


　「誰にとっての確率か」という区別が必要だ、というお説でしょうか？
　仮にこれが、(1)(2)(3)とは違って、A山が（B場, C葉には知られないように）「「もし自分が射撃の的に決まっているのなら、殺すのは後にしてくれ」という密約を取り付けた、という話だったら、A山とB場それぞれにとっての確率が一致しないということもあり得る気がします。ですが、(1)(2)(3)ではA山B場C葉の間で情報が完全に共有されているのだから、区別はないように思います。

> 「A山とB場では、解放されると(C葉が殺される前に)考えている相手が違う」という事

　えーと、A山が「解放されると(C葉が殺される前に)考えている相手」は誰で、B場が「解放されると(C葉が殺される前に)考えている相手」は誰なんでしょうか？どうしてそういう「相手」が決まるんだか分かりません。

補足日時：2013/07/18 21:56

この回答へのお礼

有難うございました。

お礼日時：2013/07/20 00:50

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/07/18 12:27

モンティホールはこの場合第3者が射殺されない人を当てる確率

を求めること。

Aが射殺されないとすると、Aを選ばない確率は 2/3
するとモンティホールでは手順により最後に A を選ぶので確率は 2/3 になる。

一方、Aにとって一人目の射殺で助かる確率は 2/3
生き残って二人目で殺される確率は服を交換しても 1/2
つまり生き残る確率は 1/3 で服を交換しても確率は
変わらない。

この回答への補足

御回答ありがとうございます。

ですが、えーと、すいません。分かんないです。

> 第3者

ってだれのことなんでしょう？

> Aが射殺されないとすると、Aを選ばない確率は 2/3

って何のことでしょう？？

補足日時：2013/07/18 21:53

この回答へのお礼

有難うございました。分かんなくて申し訳ない。

お礼日時：2013/07/20 00:52

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/07/18 12:24

これ, 「日本政府」は何にも関与してないよね.

で, モンティホール問題と比較すると「司会者 = 武装組織の親玉の持つ選択の自由度」が違ってる.

この回答への補足

お世話になります。

> これ, 「日本政府」は何にも関与してないよね.

　日本政府は「オール・オブ・人質ズ」と「ア・人質」を区別し損なうというとんでもないミスを犯したんですってば。

> 「司会者 = 武装組織の親玉の持つ選択の自由度」が違ってる

　なるほど「誰を先に射殺するかを選択する自由」のことですね。(1)(2)(3)のバリエーションは、その自由度をいろいろイジクってみたことになっていると思います。

補足日時：2013/07/18 21:51

この回答へのお礼

まさしくご指摘の通り、選択の自由度が微妙に違うとどうなるのかな、というのが元々の質問の動機でした。有難うございました。

お礼日時：2013/07/19 03:16

No.2 回答者： noname#181529 回答日時： 2013/07/18 12:22

(1)(2) Aが助かる場合でもBが助かる場合でも「Cが最初に殺される」確率が等しいのであれば

（Cともう1人をランダムな順番で殺す、あるいは、ほとんど確実にCから殺す、など）、
まさにその点でモンティホール問題のルールと根本的に違います。
この場合、Cが殺されたという条件の下で、A、Bいずれが助かる確率も1/2であり、
矛盾はありません。

(3) Aが「殺される場合、最後に殺してもらう」ことにした場合、
Cが殺された後では、Bになりすました方が助かる確率が上がり
（もちろんAになりすましたBは助かる確率が下がり）、
モンティホール問題と同じ。

この回答への補足

ご回答、ありがとうございます。

(3)の部分についてはよく分かりました。

> (1)(2) Aが助かる場合でもBが助かる場合でも「Cが最初に殺される」確率が等しい

と仰るのは「Aが助かる場合にCが最初に殺される確率」と「Bが助かる場合にCが最初に殺される確率」とが等しい、という意味でしょうか？

> まさにその点でモンティホール問題のルールと根本的に違います。

うーむむ。少なくとも「まさにその点」に関してなら、モンティホール問題の場合と同じじゃないかと思うのですが…どう違うんでしょう？？

補足日時：2013/07/18 21:48