物理II:ベータトロンの問題

[問題] http://p.tl/gaPx

この問題の(キ)について質問です。(ア)から(カ)までは求めることができたのですが、(キ)の答えが合いません。解答では、(カ)の答えをE(=ΔΦ/(2πRΔt))として、

運動量の変化は力積に等しいから、Δp=eEΔt=eΔΦΔt/(2πRΔt) ∴Δp=eΔΦ/(2πR)

となっていって、これはこれでΔtが非常に小さいならば納得できるのですが、私は以下のように考えました。まず、(エ)の答えはp=eBRでしたから、

1.Δp=eRΔB (∵Rは定数)
2.Φ=BS=πR^2B ∴B=Φ/(πR^2) (∵S=πR^2)
3. 2.より、ΔB=ΔΦ/(πR^2) (∵Rは定数)
4. 1.及び3.より、 Δp=eRΔΦ/(πR^2) ∴Δp=eΔΦ/(πR)

このような具合です。解答はΔp=eΔΦ/(2πR)であるのに対しこちらはΔp=eΔΦ/(πR)と、違った値になっています。私の考え方の何処が間違っているのでしょうか。

因みに電子が加速度eE/mでΔt秒間半径Rの円周上を等加速度運動したものとして解いた結果はΔp=eΔΦ/(2πR)でした。参考にはならないかもしれませんが、Δp=eΔΦ/(2πR)であることがやはり正しいであろうことを示すものとして一応記しておきます。

また画像のアップロードに関して問題がありましたらご報告ください。

No.1 ベストアンサー 回答者： teppou 回答日時： 2014/02/22 14:04

　問題文の(1)は、磁界中で運動する電子にどのような力がかかり、運動はどのように変化するかという基礎的な問題で、(2)は、ベータートロンで電子の運動をどのように行わせるかという、具体的状況に対する問題です。

　あなたの考えは、数式的には成り立ちますが、電子を加速する力がどのように働いているのかという視点からは、意味がないと思います。

　（キ）で求められているのは、半径Rの位置の電界による力で加速される電子の、微小時間の運動量の変化です。

　運動量の増加分という表記に、（エ）の式を安易にあてはめるかどうかが、出題ポイントのひとつかもしれませんね。

　問題文をよく読んで、物理的意味を考える事が大事だと思います。

　画像のアップに関しては、私はよいと思いますが、「ご報告ください」ではなく「ご指摘ください」などの方がよいと思います。

この回答への補足

>あなたの考えは、数式的には成り立ちますが、電子を加速する力がどのように働いているのかという視点からは、意味がないと思います。

成程……改めて考え直してみました。確かに、私は等速円運動の観点から解いていましたから、「電子を加速する力」という観点からすれば、私の解き方は「意味がない」ということになりますね。円の接線方向に働く力はないわけですから、同方向に加速度が生じることもないわけです。「等加速度円運動」を「等速円運動」として解いていたことに問題があるわけですか。この解釈で合ってますかね？
また、「電子が加速度eE/mでΔt秒間半径Rの円周上を等加速度運動したものとして解」くのは正しいでしょうか、併せてご意見を。

>画像のアップに関しては、……と思います。

分かりました。以後気を付けます。ありがとうございます。

補足日時：2014/02/22 14:35

No.3 回答者： teppou 回答日時： 2014/02/22 19:53

　No.1です。

追加のご質問（元質問の最後の方の文）について。

　模範解答は、F = eE Δp = FΔt から解いていったようですが、加速度から解いても、半径Rの位置で電子が電界から力をどのように受けているかという事が分っていれば同じだと思います。
　式もすぐに模範解答と同じになりませんか。

この回答へのお礼

同じになりました。よく分かりました。ありがとうございます。

お礼日時：2014/02/22 20:59

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2014/02/22 15:02

>2.Φ=BS=πR^2B ∴B=Φ/(πR^2) (∵S=πR^2)

一様磁場ではベータトロンは実現しませんので、(軌道内部も含めて)磁場が一様だと思ってはいけません。

電子の軌道上での磁場Bが一定であれば(特に軌道内部で磁場が異なっていても)、(エ)はそのまま成り立ちます。(ケ)を求める時に(エ)を使っている事からも分かるでしょう。

この回答へのお礼

>一様磁場ではベータトロンは実現しませんので、(軌道内部も含めて)磁場が一様だと思ってはいけません。

成程、そういうことでしたか。納得致しました。ありがとうございます。

お礼日時：2014/02/22 15:28