y=(2^x+6^x+8^x)^(1/x)のグラフ

まず、y=(2^x+6^x)^(1/x)のグラフを考えてみます。

y=(2^x+6^x)^(1/x)
=2(1+3^x)^(1/x)

対数をとり
log y=log2 + (1/x)log(1+3^x)

微分し
ｙ’/y = (1/x^2)[{(log 3)x*3^x/(1+3^x)} - log(1+3^x)]

= (1/(1+3^x)x^2)[{(log(3^x)*3^x - (1+3^x)log(1+3^x)]

t = 1+3^x > 1 とおくと、ｙ’の符号は次と等しい。

(t-1)log(t-1) - tlog(t)

これは、また微分したりして調べれば負であることがわかる。

つまり、
y=(2^x+6^x)^(1/x)のグラフは、
x：-∞→-0のときy：2→+0と単調減少し、
x：+0→+∞のときy：＋∞→6と単調減少する。

しかし、y=(2^x+6^x+8^x)^(1/x)のグラフが手計算で確認できません。
単調減少すると思われますが、
y=(a(1)^x+a(a)^x+…+a(n)^x)^(1/x) (0＜a(1)≦a(2)≦…≦a(n))
の場合も含めていい考えがあれば教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2014/02/28 22:11

ln(X)を自然対数log[e](X)とする。

■ y=(2^x+6^x+8^x)^(1/x)(>0)
y'=y{(2^x)ln(2^x)+(6^x)ln(6^x)+(8^x)ln(8^x)-(2^x+6^x+8^x)ln(2^x+6^x+8^x)}/((2^x+6^x+8^x)x^2)

x<0のとき y'<0 ⇒ yは減少関数。
　lim(x->-∞) y=2, lim(x->-0) y=0
x>0のとき y'<0 ⇒ yは減少関数。
　lim(x->+0) y=+∞, lim(x->∞)=8

グラフは添付図の黒実線の曲線となります(赤破線は漸近線：y=2とy=8)。

■ y=(3^x+4^x+5^x+6^x)^(1/x) の場合
y'=y{(3^x)ln(3^x)+(4^x)ln(4^x)+(5^x)ln(5^x)+(6^x)ln(6^x)
-(3^x+4^x+5^x+6^x)ln(3^x+4^x+5^x+6^x)}/{(3^x+4^x+5^x+6^x)x^2}

x<0のとき y'<0 ⇒ yは減少関数。
　lim(x->-∞) y=3, lim(x->-0) y=0
x>0のとき y'<0 ⇒ yは減少関数。
　lim(x->+0) y=+∞, lim(x->∞)=6

グラフは添付図の青実線の曲線となります(赤点線は漸近線:y=3とy=6)。

■ y=(a[1]^x+a[2]^x+…+a[n]^x)^(1/x) (0＜a[1]＜a[2]≦…≦a[n])
の場合
y'=y{(a[1]^x)ln(a[1]^x)+…+(a[n]^x)ln(a[n]^x)-(a[1]^x+…+a[n]^x)ln(a[1]^x+…+a[n]^x)}/{(a[1]^x+…+a[n]^x)x^2}

x<0のとき y'<0 ⇒ yは減少関数。
　lim(x->-∞) y=a[1], lim(x->-0) y=0
x>0のとき y'<0 ⇒ yは減少関数。
　lim(x->+0) y=+∞, lim(x->∞)=a[n]

グラフは添付図の青実線の曲線のような形状のようになるかと思います。
x<<-1の時の漸近線は y=a[1], x>>1の時の漸近線は y=a[n]となります。

この回答への補足

ありがとうございます。自己解決しました。

y=(2^x+6^x+8^x)^(1/x)(>0)

y'=y{(2^x)log(2^x)+(6^x)log(6^x)+(8^x)log(8^x)-(2^x+6^x+8^x)log(2^x+6^x+8^x)}/((2^x+6^x+8^x)x^2)

A=2^x>0,B=6^x>0,C=8^x>0とおくと、y'の符号は次と等しい。

AlogA+BlogB+ClogC - (A+B+C)log(A+B+C)

これをF(A,B,C)とおくと、

∂F(A,B,C)/∂A = logA + 1 - log(A+B+C) - 1 = log{A/(A+B+C)} < 0

より、F(A,B,C) < F(+0,B,C)=BlogB+ClogC - (B+C)log(B+C)

これは文字が3つから2つになると減少するということだから、同様に文字を減らして、

F(A,B,C) < F(+0,+0,+0) = 0

つまり、yは単調減少。
x=±0、±∞のときの値はlogyを考えればすぐにわかる。

補足日時：2014/03/01 02:26

No.3 回答者： 178-tall 回答日時： 2014/03/01 19:22

>自己解決しました。

>y=(2^x+6^x+8^x)^(1/x)(>0)　…

(x 全域で単調減少らしいですネ)

他に、目を惹かれたポイントについての私見だけ…。

・ 無限遠点への漸近値を決める項は？
　負側 … 2^x → y=2
　正側 … 8^x → y=8

・ 半対数目盛での対称性
　y-軸を対数目盛にて表示し、log(4) の高さに x-軸を通すと、x=0 点に対し対称のグラフ？

　　

No.1 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/02/28 15:32

僕には自力でグラフを考える技量がなく、grape で描いてみました

この回答への補足

y=(2^x+6^x+8^x)^(1/x)のグラフが「手計算」で確認できません。

補足日時：2014/02/28 15:43