どうして ln１ は ０なのか？（自然対数）

L(z)＝　ln　｜z｜　＋　iarg(z)　　（arg(z)は　0～2πの範囲）　

この式のｚに、それぞれ　

L（-1)
L(1-i）
L(-1+i)
・・・を当てはめて計算せよという問題があります。

答えは、添付画像の通りで、ほぼ納得できたのですが、

【どうしてln１が、消えているのか】が　理解できずに困っています。

数学の基礎知識が足らずにすみませんが、私の理解は「lnとは自然対数のことである」といったレベルです。対数については、大体知っていますが、　自然対数となると何か特別なことをするのかどうか？　わからなくなってしまいます。

私の今の予想は、　ln１とは、　log1^1　＝　０　となるような、何らかのことが起こっている・・・というものです。　

自然対数をネットでいろいろ調べたのですが、このあたりの計算方法についての解説を独学することができませんでした。

アドバイスをお願いします。　

No.1 ベストアンサー 回答者： trytobe 回答日時： 2014/05/26 12:06

いかなる数を０乗しても１になるので、ｌｏｇ １ では １０の０乗＝１ だから、ｌｏｇ１＝０。

同様に、ｌｎ １ では ネイピア数 ｅ の０乗＝１ だから、ｌｎ１＝０。

この回答へのお礼

「０乗すれば１になる」という発想が、思いつきませんでした・・・。

スッキリしました！

ご回答、どうもありがとうございました！

お礼日時：2014/05/26 12:52

No.2 回答者： NemurinekoNya 回答日時： 2014/05/26 12:38

e^x = 1 ⇔ 0

だからです。
e^0 = 1だから
ln1 = 0

aが実数で、a ≠ 0のとき、
a^0 = 1

で、
a^0 ≠ 1としないと
1 = a÷a = a^(1-1) = a^0 ≠ 1
となって、指数法則が成立しなくなります。

なので、指数法則
a^(m)×a^(n) = a^(m+n)
が成り立つためには、
a^0 = 1
でなければならない、というわけです。

そして、ln1^1ですけれども、
ln1 = ln1^1 = 1×ln1 = 0
ln1 = ln1^n = n×ln1 = 0
となって、矛盾しません。

ln1の値は、ひとまず、？？？として、
ln1 = ln(1^n) = n×ln1
n×ln1 - ln1 = 0
(n-1)×ln1 = 0
で、n ≠ 1とすると、両辺を(n-1)でわって、
ln1 = 0
と求まります。
そして,
n ≠1 のとき　ln1 = 0 なのだから、
n = 1のときにもln1 = 0が成立すると拡張する。

ln(x^n) = n×lnx


あるいは、
ln1 = ln(1×1) = ln1 + ln1 = 2ln1
ln1 = 0

ln(a×b) = lna + lnb


1 = 1÷1 = 1/1
ln(1) = ln(1/1) = ln1 - ln1 = 0

ln(a/b) = lna - lnb

などなど。

この回答へのお礼

とても詳しい解説を、どうもありがとうございました。
おかげさまで、とても理解が深まりました！

ご回答、どうもありがとうございました！

お礼日時：2014/05/26 12:51