高校数学のベクトルのパラメータ表示の問題です

原点をOとし平面上の2点A(0,1),B(0,2)をとる　OBを直径とし点(1,1)を通る半円をTとする　長さπの糸が一端をOに固定してTに巻きつけてある　この糸の他端Pを引き、それがx軸に到達するまで、ゆるむことなくほどいてゆく　糸と半円との接点をQとし　∠BAQの大きさをtとする

(1)ベクトル↑OPをtを用いて表せ
(2)Pが描く曲線とx軸およびy軸とで囲まれた図形の面積を求めよ
(3)Pが描く曲線の誇長を求めよ

↑OP=↑OA+↑AQ+↑QP

=(0,1)+{cos(π/2-t),sin(π/t-t)}+t{cos(π-t),sin(π-t)}

とあったのですが↑OAが(0,1)は分かるのですが、↑AQ+↑QP
が{cos(π/2-t),sin(π/2-t)}+t{cos(π-t),sin(π-t)}となるのが

分かりません、多分↑AQが{cos(π/2-t),sin(π/t-t)}になると思うのですが、角度がπ/2-tになるのが分かりません ↑QP
の角度π-tも分からないので、よろしくです

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2014/07/23 23:31

>OBを直径とし点(1,1)を通る半円をTとする　

図ではΓになっていますが正しいのはどちらですか。

＞↑OP=↑OA+↑AQ+↑QP

=(0,1)+{cos(π/2-t),sin(π/t-t)}+t{cos(π-t),sin(π-t)}

t{cos(π-t),sin(π-t)}　なんですかこの式は？角度のtと長さが混乱していて検討に値しません。


＞角度π-tも分からないので

弧度法を知っていますか。知らなければ残念ながらこの問題はあきらめたほうがいいでしょう。

この回答への補足

>図ではΓになっていますが正しいのはどちらですか。

すいません、Γです、文字にする時Γが何か分からなかったので似ているTを使いました

>t{cos(π-t),sin(π-t)}　なんですかこの式は？角度のtと

>長さが混乱していて
解説の部分をそのまま書きました、

>弧度法を知っていますか。知らなければ残念ながらこの問題

>はあきらめたほうがいいでしょう
勿論知ってますよ↑QPが何故この角度になるのか分からないのです

補足日時：2014/07/23 23:49

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/29 19:54

No.2 回答者： gohtraw 回答日時： 2014/07/23 23:45

図から見て、

ベクトルＡＱのｘ成分：　sin（πーｔ）＝ｃｏｓ（π／２－（πーｔ））
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｃｏｓ（ｔ－π／２）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｃｏｓ（π／２－ｔ）
同じくｙ成分：　－ｃｏｓ（πーｔ）＝ーｓｉｎ（π／２－（πーｔ））
　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝-sin（ｔ－π／２）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｓｉｎ（π／２－ｔ）
ということでは？
　　　　　　　　　　　　　　　　　

この回答への補足

>ベクトルＡＱのｘ成分
↑AQのx成分の角度はsin（πーｔ）はどこから出てきたのですか？

>同じくｙ成分
同じく－ｃｏｓ（πーｔ）がどこから出てきたのか分からないです

補足日時：2014/07/24 00:06

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/29 19:53

No.3 回答者： gohtraw 回答日時： 2014/07/23 23:50

あ、ベクトルＱＰもか、

ＡＱとＰＱは常に直角をなします。ここで、Ｑを通りｘ軸に平行な
直線を引くと、この直線とＰＱのなす角は角ＱＡＯ、つまり
πーｔに等しいことが判ります。

この回答への補足

>πーｔに等しいことが判ります。
分かりましたが、↑AQの方が分かりません

補足日時：2014/07/24 00:12

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/29 19:53

No.4 回答者： gohtraw 回答日時： 2014/07/23 23:58

小出しで済みません。

ベクトルＱＰの部分、動径の長さと角度の積は弧の長さなので、
全体にかかっているｔは弧ＢＱの長さ、すなわちＰＱの長さ。

この回答への補足

>全体にかかっているｔは弧ＢＱの長さ、すなわちＰＱの長
>さ。
詳しく有難うございます、↑QPを表す時Qのx座標とかは考えずに(QPの長さ)×(点Qから引いたx軸平行な直線からPまでの角度)でいいんですか？

↑AQはどう表せばいいんですか？AQの長さは1ですが角度はAを原点にもって行ったときx軸からQまでの角度ですか？この場合負になると思いますが、y軸からQまでが角度-tでx軸からQまではπ/2-tになります

補足日時：2014/07/24 00:22

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/29 19:53

No.5 回答者： berokanda 回答日時： 2014/07/24 00:47

＞多分↑AQが{cos(π/2-t),sin(π/t-t)}

＞になると思うのですが

何箇所か間違って書かれているので
そこを指摘しておきます。

まず、y座標はsin(π/t-t)ではなくsin((π/2)-t)
です。

さらに、全体を中括弧"｛"、"}"で括って
あなたは書いていますがその書き方は
間違いです。座標を表す括弧は必ず
丸括弧"（"、"）"を使うようにしてください。

つまり、
(cos((π/2)-t),sin((π/2)-t))
です。

次に、なぜ(π/2)-tなのかについて。
ベクトルABの偏角がπ/2であって
ベクトルAQはベクトルABから-θ
偏角がずれているからです。
合わせて(π/2)+(-θ)=(π/2)-t

(ベクトルQPの偏角)
=(ベクトルAQの偏角)+(π/2)
=(π/2)-t+(π/2)
=π-t
です。

ちなみにベクトルvの偏角というのは
ベクトルvを原点に合わせたときの
ベクトル(1,0)からvへの角度のことで、
反時計回りがプラス、時計回りがマイナス
になります。

ベクトルは平行移動しても偏角は
変わりません。

この回答への補足

>座標を表す括弧は必ず

>丸括弧"（"、"）"を使うようにしてください。
分かりました、気をつけます

>ベクトルABの偏角がπ/2であって

>ベクトルAQはベクトルABから-θ

>偏角がずれているからです。
ではθとtは同じ意味ですか？

>(ベクトルQPの偏角)

>=(ベクトルAQの偏角)+(π/2)
これはちょっと分からないです、Qを原点に持って行ったとき
という風な説明でお願いしたいです

>ベクトル(1,0)からvへの角度のことで、
じゃあ今回Aを原点に移動して↑AQの偏角は点(1,0)から-tの角度ですよね

補足日時：2014/07/24 01:30

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/29 19:53

No.6 回答者： berokanda 回答日時： 2014/07/24 02:01

＞ではθとtは同じ意味ですか？

失礼しました。
tのことです。

＞>=(ベクトルAQの偏角)+(π/2)
＞これはちょっと分からないです、
＞Qを原点に持って行ったとき
＞という風な説明でお願いしたいです

ベクトルAQを平行移動してAが原点
に一致するようにする

↓

するとその平行移動したベクトルは
x軸との角度が-tになります。


ベクトルABを平行移動してAが原点
に一致するようにする

↓

するとその平行移動したベクトルは
x軸との角度がπ/2になります。


＞じゃあ今回Aを原点に移動して↑AQ
＞の偏角は点(1,0)から-tの角度ですよね

違います。どうしてそう思うんでしょう？
ベクトル(0,1)と(1,0)を混同している？

ベクトル(1,0)の終点はx軸の上にあるん
ですよ。(π/2)-tでしょ。
あなたが添付した図によると角度tは
y軸から始まっているように見えますがね。
あなたにはx軸から始まっているように
見えるんですか？

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/29 19:53

No.7 回答者： berokanda 回答日時： 2014/07/24 07:43

#5#6ですがミイラ取りがミイラになって

しまって申し訳ない。下記へ差し替えて
ください。

ベクトルAQを平行移動してAが原点
に一致するようにする

↓

するとその平行移動したベクトルは
x軸との角度が（π/2）-tになります。

ベクトルQPを平行移動してQが原点
に一致するようにする

↓

すると平行移動したベクトルは
x軸との角度が

（π/2）-t+（π/2）=π-tになります。

この回答への補足

>x軸との角度が（π/2）-tになります。
分かりました

>すると平行移動したベクトルは
x軸との角度が（π/2）-t+（π/2）=π-tになります。
これは分かりませんQを原点に持ってきたとき何で偏角が
（π/2）-t+（π/2）になるんですか？

補足日時：2014/07/24 10:25

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/29 19:52

No.8 回答者： gohtraw 回答日時： 2014/07/24 07:46

回答No.2への補足に対して

＞↑AQのx成分の角度はsin（πーｔ）はどこから出てきたのですか？
＞同じく－ｃｏｓ（πーｔ）がどこから出てきたのか分からないです

　図をよく見ましょう。∠QAO＝π－ｔ　でしょ。

回答Ｎｏ．４への補足に対して
＞↑QPを表す時Qのx座標とかは考えずに(QPの長さ)×(点Qから
＞引いたx軸平行な直線からPまでの角度)でいいんですか？

　まず、「x軸平行な直線からPまでの角度」という表現は意味不明
です。「x軸平行な直線とＰＱのなす角度」という具合に、二つの直線
を指定して、「その間の角度」という言い方にしないとどこの角のこと
か判りません。
　この場合、ＰＱの長さと、上記の「なす角度」が判ればベクトルＰＱ
の成分を記述することができますよね？そういう意味では点Ｑの
座標は不要です。
　「Ｑを原点に持って行ったとき」という風に考えるのは、それ自体
間違ってはいません。ただこれをやると、「ではＱの座標は？」と
いう話になってくる。そうではなくて、ＰとＱを比べた時にこれらの
座標にはどれだけの差があるかを図で考えるようにしたほうが
いいと思います。ベクトルって、「座標の差」に他ならないので。
　ＰＱの長さは回答Ｎｏ．４で述べたようにｔです。そして上記の
「なす角度」がπーｔなのだから、ベクトルＰＱの成分は
ｘ成分：　ｔ＊ｃｏｓ（πーｔ）
ｙ成分：　ｔ＊ｓｉｎ（πーｔ）

この回答への補足

>∠QAO＝π－ｔ　でしょ。
それは分かりますが、その角がわかったら何で↑AQの偏角が出せるんですか∠QAOはy軸とAQのなす角ですよ？x軸から図った角が偏角じゃないんですか？

補足日時：2014/07/24 10:23

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/29 19:52

No.9 回答者： gohtraw 回答日時： 2014/07/24 12:39

＞それは分かりますが、その角がわかったら何で↑AQの偏角が出せるんですか∠QAOはy軸とAQのなす角ですよ？x軸から図＞った角が偏角じゃないんですか？

　偏角という言葉をどういう意味でお使いなのかよく判りませんが、一端忘れて
下さい。図を見ると、ベクトルAQのｘ成分は、Qからｙ軸におろした垂線の長さ
でしょ？これはAQの長さと、ｓｉｎ∠ＱＡＯ、つまりｓｉｎ（πーｔ）の積で求めること
ができますよね？そしてＡＱの長さは１なのだから、結局ベクトルＡＱのｘ成分は
ｓｉｎ（πーｔ）になるでしょ？

この回答への補足

>ベクトルAQのｘ成分は、Qからｙ軸におろした垂線の長さ
y軸に下ろしているのにx成分になるんですか?

補足日時：2014/07/24 18:35

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/29 19:52

No.10 回答者： berokanda 回答日時： 2014/07/24 18:04

＞何で偏角が

＞（π/2）-t+（π/2）になるんですか？

QPとAQが直交しているからです。

この回答への補足

>QPとAQが直交しているからです。
直行しているのは分かるのですが↑QPの偏角を求めるとき関係あるのですか?

補足日時：2014/07/24 18:38

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/29 19:52