高校数学のベクトルのパラメータ表示の問題です

原点をOとし平面上の2点A(0,1),B(0,2)をとる　OBを直径とし点(1,1)を通る半円をTとする　長さπの糸が一端をOに固定してTに巻きつけてある　この糸の他端Pを引き、それがx軸に到達するまで、ゆるむことなくほどいてゆく　糸と半円との接点をQとし　∠BAQの大きさをtとする

(1)ベクトル↑OPをtを用いて表せ
(2)Pが描く曲線とx軸およびy軸とで囲まれた図形の面積を求めよ
(3)Pが描く曲線の誇長を求めよ

↑OP=↑OA+↑AQ+↑QP

=(0,1)+{cos(π/2-t),sin(π/t-t)}+t{cos(π-t),sin(π-t)}

とあったのですが↑OAが(0,1)は分かるのですが、↑AQ+↑QP
が{cos(π/2-t),sin(π/2-t)}+t{cos(π-t),sin(π-t)}となるのが

分かりません、多分↑AQが{cos(π/2-t),sin(π/t-t)}になると思うのですが、角度がπ/2-tになるのが分かりません ↑QP
の角度π-tも分からないので、よろしくです

No.12 回答者： gohtraw 回答日時： 2014/07/24 19:19

ベクトルＡＱをｘ成分とｙ成分に分解してごらん。

Qからｙ軸におろした垂線とｙ軸との交点をＲとしたら、
ベクトルＡＱのｘ成分はベクトルＲＱじゃない？
同じくｙ成分はベクトルＡＲじゃない？

なんで「ｙ軸に下ろした垂線だから」「ｘ成分ではない」
と思えるかな？

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/29 19:51

No.11 回答者： berokanda 回答日時： 2014/07/24 18:56

#10の補足について。

直交しているので

（ベクトルQPの偏角）＝（ベクトルAQの偏角）＋π/2

ですよ。偏角の基本性質。

この回答への補足

うーん、x軸平行な直線とPQとで挟まれた角が偏角ですよね、AQのAをQまで移動させて考えるということですか？↑AQの偏角と別の気がするのですが、分からないです

補足日時：2014/07/24 19:34

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/29 19:52

No.10 回答者： berokanda 回答日時： 2014/07/24 18:04

＞何で偏角が

＞（π/2）-t+（π/2）になるんですか？

QPとAQが直交しているからです。

この回答への補足

>QPとAQが直交しているからです。
直行しているのは分かるのですが↑QPの偏角を求めるとき関係あるのですか?

補足日時：2014/07/24 18:38

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/29 19:52

No.9 回答者： gohtraw 回答日時： 2014/07/24 12:39

＞それは分かりますが、その角がわかったら何で↑AQの偏角が出せるんですか∠QAOはy軸とAQのなす角ですよ？x軸から図＞った角が偏角じゃないんですか？

　偏角という言葉をどういう意味でお使いなのかよく判りませんが、一端忘れて
下さい。図を見ると、ベクトルAQのｘ成分は、Qからｙ軸におろした垂線の長さ
でしょ？これはAQの長さと、ｓｉｎ∠ＱＡＯ、つまりｓｉｎ（πーｔ）の積で求めること
ができますよね？そしてＡＱの長さは１なのだから、結局ベクトルＡＱのｘ成分は
ｓｉｎ（πーｔ）になるでしょ？

この回答への補足

>ベクトルAQのｘ成分は、Qからｙ軸におろした垂線の長さ
y軸に下ろしているのにx成分になるんですか?

補足日時：2014/07/24 18:35

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/29 19:52

No.8 回答者： gohtraw 回答日時： 2014/07/24 07:46

回答No.2への補足に対して

＞↑AQのx成分の角度はsin（πーｔ）はどこから出てきたのですか？
＞同じく－ｃｏｓ（πーｔ）がどこから出てきたのか分からないです

　図をよく見ましょう。∠QAO＝π－ｔ　でしょ。

回答Ｎｏ．４への補足に対して
＞↑QPを表す時Qのx座標とかは考えずに(QPの長さ)×(点Qから
＞引いたx軸平行な直線からPまでの角度)でいいんですか？

　まず、「x軸平行な直線からPまでの角度」という表現は意味不明
です。「x軸平行な直線とＰＱのなす角度」という具合に、二つの直線
を指定して、「その間の角度」という言い方にしないとどこの角のこと
か判りません。
　この場合、ＰＱの長さと、上記の「なす角度」が判ればベクトルＰＱ
の成分を記述することができますよね？そういう意味では点Ｑの
座標は不要です。
　「Ｑを原点に持って行ったとき」という風に考えるのは、それ自体
間違ってはいません。ただこれをやると、「ではＱの座標は？」と
いう話になってくる。そうではなくて、ＰとＱを比べた時にこれらの
座標にはどれだけの差があるかを図で考えるようにしたほうが
いいと思います。ベクトルって、「座標の差」に他ならないので。
　ＰＱの長さは回答Ｎｏ．４で述べたようにｔです。そして上記の
「なす角度」がπーｔなのだから、ベクトルＰＱの成分は
ｘ成分：　ｔ＊ｃｏｓ（πーｔ）
ｙ成分：　ｔ＊ｓｉｎ（πーｔ）

この回答への補足

>∠QAO＝π－ｔ　でしょ。
それは分かりますが、その角がわかったら何で↑AQの偏角が出せるんですか∠QAOはy軸とAQのなす角ですよ？x軸から図った角が偏角じゃないんですか？

補足日時：2014/07/24 10:23

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/29 19:52

No.7 回答者： berokanda 回答日時： 2014/07/24 07:43

#5#6ですがミイラ取りがミイラになって

しまって申し訳ない。下記へ差し替えて
ください。

ベクトルAQを平行移動してAが原点
に一致するようにする

↓

するとその平行移動したベクトルは
x軸との角度が（π/2）-tになります。

ベクトルQPを平行移動してQが原点
に一致するようにする

↓

すると平行移動したベクトルは
x軸との角度が

（π/2）-t+（π/2）=π-tになります。

この回答への補足

>x軸との角度が（π/2）-tになります。
分かりました

>すると平行移動したベクトルは
x軸との角度が（π/2）-t+（π/2）=π-tになります。
これは分かりませんQを原点に持ってきたとき何で偏角が
（π/2）-t+（π/2）になるんですか？

補足日時：2014/07/24 10:25

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/29 19:52

No.6 回答者： berokanda 回答日時： 2014/07/24 02:01

＞ではθとtは同じ意味ですか？

失礼しました。
tのことです。

＞>=(ベクトルAQの偏角)+(π/2)
＞これはちょっと分からないです、
＞Qを原点に持って行ったとき
＞という風な説明でお願いしたいです

ベクトルAQを平行移動してAが原点
に一致するようにする

↓

するとその平行移動したベクトルは
x軸との角度が-tになります。


ベクトルABを平行移動してAが原点
に一致するようにする

↓

するとその平行移動したベクトルは
x軸との角度がπ/2になります。


＞じゃあ今回Aを原点に移動して↑AQ
＞の偏角は点(1,0)から-tの角度ですよね

違います。どうしてそう思うんでしょう？
ベクトル(0,1)と(1,0)を混同している？

ベクトル(1,0)の終点はx軸の上にあるん
ですよ。(π/2)-tでしょ。
あなたが添付した図によると角度tは
y軸から始まっているように見えますがね。
あなたにはx軸から始まっているように
見えるんですか？

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/29 19:53

No.5 回答者： berokanda 回答日時： 2014/07/24 00:47

＞多分↑AQが{cos(π/2-t),sin(π/t-t)}

＞になると思うのですが

何箇所か間違って書かれているので
そこを指摘しておきます。

まず、y座標はsin(π/t-t)ではなくsin((π/2)-t)
です。

さらに、全体を中括弧"｛"、"}"で括って
あなたは書いていますがその書き方は
間違いです。座標を表す括弧は必ず
丸括弧"（"、"）"を使うようにしてください。

つまり、
(cos((π/2)-t),sin((π/2)-t))
です。

次に、なぜ(π/2)-tなのかについて。
ベクトルABの偏角がπ/2であって
ベクトルAQはベクトルABから-θ
偏角がずれているからです。
合わせて(π/2)+(-θ)=(π/2)-t

(ベクトルQPの偏角)
=(ベクトルAQの偏角)+(π/2)
=(π/2)-t+(π/2)
=π-t
です。

ちなみにベクトルvの偏角というのは
ベクトルvを原点に合わせたときの
ベクトル(1,0)からvへの角度のことで、
反時計回りがプラス、時計回りがマイナス
になります。

ベクトルは平行移動しても偏角は
変わりません。

この回答への補足

>座標を表す括弧は必ず

>丸括弧"（"、"）"を使うようにしてください。
分かりました、気をつけます

>ベクトルABの偏角がπ/2であって

>ベクトルAQはベクトルABから-θ

>偏角がずれているからです。
ではθとtは同じ意味ですか？

>(ベクトルQPの偏角)

>=(ベクトルAQの偏角)+(π/2)
これはちょっと分からないです、Qを原点に持って行ったとき
という風な説明でお願いしたいです

>ベクトル(1,0)からvへの角度のことで、
じゃあ今回Aを原点に移動して↑AQの偏角は点(1,0)から-tの角度ですよね

補足日時：2014/07/24 01:30

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/29 19:53

No.4 回答者： gohtraw 回答日時： 2014/07/23 23:58

小出しで済みません。

ベクトルＱＰの部分、動径の長さと角度の積は弧の長さなので、
全体にかかっているｔは弧ＢＱの長さ、すなわちＰＱの長さ。

この回答への補足

>全体にかかっているｔは弧ＢＱの長さ、すなわちＰＱの長
>さ。
詳しく有難うございます、↑QPを表す時Qのx座標とかは考えずに(QPの長さ)×(点Qから引いたx軸平行な直線からPまでの角度)でいいんですか？

↑AQはどう表せばいいんですか？AQの長さは1ですが角度はAを原点にもって行ったときx軸からQまでの角度ですか？この場合負になると思いますが、y軸からQまでが角度-tでx軸からQまではπ/2-tになります

補足日時：2014/07/24 00:22

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/29 19:53

No.3 回答者： gohtraw 回答日時： 2014/07/23 23:50

あ、ベクトルＱＰもか、

ＡＱとＰＱは常に直角をなします。ここで、Ｑを通りｘ軸に平行な
直線を引くと、この直線とＰＱのなす角は角ＱＡＯ、つまり
πーｔに等しいことが判ります。

この回答への補足

>πーｔに等しいことが判ります。
分かりましたが、↑AQの方が分かりません

補足日時：2014/07/24 00:12

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/29 19:53