方程式

127個のみかんがある。これをあるクラスの生徒全員に同じ数ずつできるだけ多く配ると4個余る。また、男子だけに同じ数ずつできるだけ多く配ると12個余る。このクラスの女子は何人か。

方程式の立て方が分かりません。
お願いします。

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2015/09/14 14:50

ご質問は「方程式の立て方」ですよね。

　まず、最低限分かっているべきことがある。すなわち：
　式を立てるというのは「問題を正確に読み取って、不必要な部分を捨て、問題が求めていることを記号を使って漏れなく整理する」という作業。立てた式が方程式になるとは限らない。また、式を立てたからといってそれだけで問題がスンナリ解けるとは限らない。

　女子の数をf、男子の数をmと書く事にしよう。もちろん、f, mは自然数でなくてはならない。自然数全体の集合をNと書く事にする。
　（問題文からはわからないが）生徒全員というのが男子と女子だけで構成されていると仮定する。この仮定により、生徒全員の数は(f+m)である。
● 生徒全員に同じ数ずつできるだけ多く配ると4個余る。
ということは、127を(f+m)で割った余りは4。なので(f+m)は4より大きい。(127-4)を(f+m)で割った商をpとしよう。pも自然数である。
● 男子だけに同じ数ずつできるだけ多く配ると12個余る。
ということは、127をmで割った余りは12。なのでmは12より大きい。(127-12)をmで割った商をqとしよう。qも自然数である。
　以上から、（みかんだの男子だの女子だのはどうでもいい事なので捨ててしまって、）問題が求めていることを整理すると
　　(127-4)/(f+m)=p
　　4＜f+m
　　(127-12)/m=q
　　12＜m
となる。「『これらの式全部を同時に満たすような自然数m,p,qが存在する』ような自然数fを全部」答えろというのがこの問題が求めていること。

　もうちょっとがんばって、「『これらの式全部を同時に満たすような自然数m,p,qが存在する』ような自然数fを全部」という事まで含めて、式に書き表すこともできます。それをやると、
　{ f | f∈N ∧ ∃p∃q∃m(p∈N ∧ q∈N ∧ m∈N ∧ (127-4)/(f+m)=p ∧ 4＜f+m ∧ (127-12)/m=q ∧ 12＜m)}
となる。これが問題の解の集合です。この集合の要素を具体的に全部書き出すことができれば、それが答。

　　なお、" ∧ "は「and」という意味。∃x(...)は「(...)を満たすxが存在する」という意味。"{x| .... }"は「....を満たすようなx全部から成る集合」という意味。

No.5 回答者： he-goshite- 回答日時： 2015/09/11 17:54

数学の問題，とくに文章題とか応用問題と言われているものを解くとき，必ず方程式を立てなければならない

と，考えるのはやめましょう。

No.4 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2015/09/06 14:49

文章をよく読んでそのまま式にする。

「このクラスの女子は何人か。」
なので女の子の人数をFとする。

「127個のみかんがある。これをあるクラスの生徒全員に同じ数ずつできるだけ多く配ると4個余る。」
　4個余ると言うことは、配られた数は127-4=123個だと分かる。
　
「男子だけに同じ数ずつできるだけ多く配ると12個余る。」
同様に、127-12=115 個配れた。

123=41×3 で、全員は41人か、123人か分かる。
115=23×5 で、男子は23人か、115人。
　ここまで分かって方程式書くのだけれども、ここまで分かればその必要はないでしょう。
全員　　123
　男子　23　100　女子　
　男子 115　　8　女子
全員　　41
　男子　23　　18 女子
の３パターンしかない。

No.3 回答者： lupan344 回答日時： 2015/09/06 02:08

123を素数としたのが間違いでした。

No.2さんが正解ですね。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2015/09/06 01:34

No.1さんの「123が素数である事から」は、間違いですね。

123は「3、41」の倍数ですから。

　単純に、男子：X人、女子：Y人として、任意の正の整数 m、n に対して、

　　　m*(X + Y) = 123　　（１）
　　　n*X = 115　　　　　（２）

となります。

　（１）より、m がとり得る値は
　　　m = 1, 3
のみです。
　また、（２）より、n がとり得る値は
　　　n = 1, 5, 23
ですが、「余りが12」ということは、X>12 なので、
　　　n = 1, 5
しかあり得ません。


（Ａ）n = 1 のとき、（２）より
　　　X = 115

（１）に代入すると、

　　m * ( 115 + Y ) = 123
∴　Y = 123/m - 115

m=1 のとき、
　　Y = 8

m=3 はあり得ません。

（Ｂ）n = 5 のとき、（２）より
　　　X = 23

（１）に代入すると、

　　m * ( 23 + Y ) = 123
∴　Y = 123/m - 23

m=1 のとき、
　　Y = 100

m=3 のとき、
　　Y = 18

となります。


（１）男子：115人、女子：8人
　　→合計123人に1個ずつ配ると4個余り
　　　男子115人に1個ずつ配ると12個余り
　　→合っています

（２）男子：23人、女子：100人
　　→合計123人に1個ずつ配ると4個余り
　　　男子23人に5個ずつ配ると12個余り
　　→合っています

（３）男子：23人、女子：18人
　　→合計41人に3個ずつ配ると4個余り
　　　男子23人に5個ずつ配ると12個余り
　　→合っています

ということで、女子の人数は、

　　8人、または18人、または100人

です。
　No.1さんは、（３）のケースが抜けているかと思います。
　現実的な「クラス」の構成人数としては、（３）が常識的かと思いますが。

No.1 回答者： lupan344 回答日時： 2015/09/05 22:11

まず、全生徒に対して123個配ると、生徒に全て配れるので、123が素数である事から、全生徒数が123名である事がわかります。

つまり、男子生徒数＝A、女子生徒数＝Bとすると、Ａ＋B＝123です。
ここで、127－12＝115より、男子生徒１人に配った数がCとすると、A×C＝115です。
115の約数は、１、５、23、115です。
このうち、１、５は、それぞれ127個、125個配る事が可能です。
したがって、23人もしくは、115人が男子生徒数となります。
解答は、123－23＝100人又は123－115＝8人となります。
検算します。
全校生徒数＝123人、1人1個配るので、127－123＝4個余り
男子生徒数＝23人、1人5個配るので、127－23×5＝127－115＝12個余り
男子生徒数＝115人、1人1個配るので、127－115＝12個余り