数学Ⅲの問題

複素数に関する問題です 解説もお願いします 下記が問題です

１．z₁=2-3i とするとき、次の複素数を表す点の座標
(1) 1/2 *z₁ (2) 2z₁

2. 次の複素数を極形式で表したもの
(1) z= -√3 - i

No.3 回答者： zuku_mimi 回答日時： 2016/01/14 19:58

1.(1)1/2 * z1 = 1/2(2 -3i) = 1 -3/2i より座標は（1, -3/2) (2) 2z₁ = 2(2 - 3i) = 4 - 6i よって座標は（4, -6) 2.(1) z = r{cosθ + (sinθ）i} と表すと r = √{(-√3)^2 + (-1)^2} = 2 より z = 2(-√3/2 - 1/2i) cosθ = -√3/2, sinθ = -1/2 よりθ = 7/6Π + 2nΠ (ｎは整数）。

よって極形式で表すと(2, 7/6Π + 2nΠ）です。

No.2 回答者： kopanda116 回答日時： 2016/01/13 23:29

1.zi=(2,-3)ですね。

(1)(1,-1.5) (2)(4,-6)

2.極形式とはz=a*exp(Θi)と表せるやつのことです。
（ちなみにexp(x)は自然対数eのx乗ということです。）

z=2*(-√3/2 - 1/2 i)
=2*(cos(7π/6) + sin(7π/6) i)

z=2*exp(7π/6 i)
(オイラーの公式exp(Θi)=cosΘ+sinΘ i) ←コレ高校で習いますか？

したがって、極座標系(r,Θ)では(2,7π/6)となりますね。
三角座標で考えても同じだと思います。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/01/13 23:23

複素平面は、ｘｙ平面を考えて、実数をｘ軸、虚数をｙ軸にとったものです。

１．従って、z₁=2-3i は、(x, y) 座標でいえば (2, -3) ということです。　　（A）

（１）1/2 *z₁ は、
　　z2 = (1/2) * z1 = (1/2)*(2 - 3i) = 1 - (3/2)i
ということですから、その座標は (1, -3/2) です。
(A)を、x座標、y座標とも 1/2 にしたものです。

（２）2z₁ は
　　z3 = 2*z1 = 2*(2 - 3i) = 4 - 6i
ということですから、その座標は (4, -6) です。
(A)を、x座標、y座標とも 2 倍にしたものです。

2. 極形式とは、xy座標ではなく、「極座標」ということです。原点からの距離 r, x軸からの角度 θ を使って、(r, θ) で表わすものです。
　　r^2 = x^2 + y^2
　　tanθ = y/x
という関係にあります。（図に描いてみて、確認して下さいね！）　

　z= -√3 - i は、xy座標で書けば (-√3, -1) です。従って、
　　r^2 = (-√3)^2 + (-1)^2 = 3 + 1 = 4
　r>0 なので
　　r = 2
　また、
　　tanθ = y/x = (-1) / (-√3) = 1/√3
で、 (-√3, -1) は「第3象限」にあることから
　　θ = 210° = (7/6)パイ

　よって、極形式では ( 2, (7/6)パイ )