接戦の求め方について質問です。「F(x)=x^3-x^2-3x+7上の点A(1、4)における接線を

接戦の求め方について質問です。
「F(x)=x^3-x^2-3x+7上の点A(1、4)における接線を求めよ」という問題があります
この解法についてなのですが、
F(x)を(x-1)^2でわって出たあまりが接線となる解き方は解答で記述する時どのように書いたら良いのですか？教えてください。
なんか、割り算の原理を使ってるみたいです

No.2 ベストアンサー 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/04/22 15:57

F(x) を (x - 1)^2 で割った商を f(x), 余りを p(x - 1) + q とすると、

F(x) = ((x - 1)^2)f(x) + p(x - 1) + q と表せますが、この両辺を x で微分すると
F'(x) = 2(x - 1)f(x) + ((x - 1)^2)f'(x) + p となります。
これより、求める接線の傾きは F'(1) = p なので、
接線の方程式は y - F(1) = p(x - 1) となります。
F(1) = q ですから、整理すると y = p(x - 1) + q が接線の方程式と分かります。
＞F(x)を(x-1)^2でわって出たあまりが接線となる
という質問者様の主張が正しいことが、これにて示されました。
あとは実際に F(x) = x^3 - x^2 - 3x + 7 を (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 で割って余りを求めて、それを答えとして書けばいいでしょう。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。 そうこれが知りたかったんですよ。余りが接線としか参考書に書いてなかったもので
とてもわかりやすかったです

お礼日時：2016/04/22 17:31

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/04/22 08:58

F(x)=x^3-x^2-3x+7

という関数自体に「接線」という概念がないですから、
　　y = F(x)
というグラフの接線ということですね？

微分をご存知なら
　F'(x) = 3x^2 - 2x - 3
より、x=1 での接線の傾きが
　F'(1) = -2
になることを使い、その直線が点A(1、4)を通ることから決まるのですが。
　y= -2x + A
が (1、4) を通るので
　4 = -2 + A
より　A = 6
つまり接線は
　y= -2x + 6

高校レベルで解くには、
　　y = x^3 - x^2 - 3x + 7　　（１）
という曲線と、
　　y = ax + b　　　　　　（２）
という直線が接する、つまり（１）と（２）を連立させた方程式が「重根を持つ」ということを使って、a, b の値を決めます。

実際に連立させると
　　 x^3 - x^2 - 3x + 7 = ax + b
つまり
　　x^3 - x^2 - (a +3)x + (7 - b) = 0

この方程式が「重根 x=1 を持つ」ということは、
　　x^3 - x^2 - (a +3)x + (7 - b) = (x - 1)^2 * (x - c)　　　　（３）
と書けるということです。（cはもう一つの解）
　右辺を展開すれば
　　x^3 - (2 + c)x^2 + (2c + 1)x - c
ですから、係数を比較して
　　2 + c = 1
　　2c + 1 = -(a + 3)
　　-c = 7 - b
これらから
　　c = -1
　　a = -2
　　b = 6
となります。

よって、接線の直線は
　　y = -2x + 6

　ご質問文にある「F(x)を(x-1)^2でわって出たあまり」というのが分かりませんが、おそらく（３）の式のことを言っているのかと思います。「あまり」ではないですよ。
　「どのように書いたら良いのですか？」というレベルの問題ではなく、はっきり言って「解き方（問題を解くための戦略）が分かっていない」ということです。

この回答へのお礼

回答して頂きありがとうございました

お礼日時：2016/04/22 17:31