図形の体積と表面積の求め方を教えてください

次の二つの問の式と答えを教えてください

1)底面が半径3cmの円で、高さが４cmの円錐、ただし頂点から下ろした垂線は、底面の円の中心を通る

2)底面が縦3cm、横4cnの長方形で、高さが5cmの四角錐、ただし頂点から下ろした垂線は、底面の長方形の重心を通る

質問者からの補足コメント

• すみません！
  表面積の求め方もお願いします！！

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/05/29 20:15

• πを使って答えていただけると嬉しいです！

    補足日時：2016/05/29 20:26

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2016/05/29 23:27

No.2&3です。

１）の表面積の計算を間違えていましたね。
再掲します。

どちらも、体積は
　　底面積 × 高さ ÷ 3
です。
　従って、
１）
　底面積 = 3 × 3 × パイ = 9パイ (cm²)
　高さ = 4 (cm)
なので
　体積 = 9パイ × 4 ÷ 3 = 12パイ (cm³)

２）
　底面積 = 3 × 4 = 12 (cm²)
　高さ = 5 (cm)
なので
　体積 = 12 × 5 ÷ 3 = 20 (cm³)


表面積は、側面部分の面積を計算するのに少し工夫が必要です。

１）「側面」の斜面の高さは、高さ 4 cm, 底辺の半径が 3 cm なので、√(4² + 3²) = √25 = 5 (cm)。従って、側面の表面は、半径 5 cm の円から一部を切り取った「扇型」です。円周が半径 3 cm の「底面」の円周と等しいので、
　　円周 = 6パイ
です。
　半径 5 cm の円周は 10パイですので、側面の面積は
　　半径 5 cm の円の面積の「6パイ/10パイ = 3/5」ということが分かります。
　つまり
　　側面の面積 = 5 × 5 × パイ × 3/5 = 15パイ (cm²)
　これに「底面積：9パイ (cm²)」を加えて、
　　円錐の表面積 = 9パイ + 15パイ = 24パイ (cm²)

２）側面の「三角形」の面積は、この三角形の「高さ」を求めないといけません。
　底面の「3 cm」の辺を「底辺」とすると、底面の中心までの距離が「4 cm」の辺の長さの半分の「2 cm」です。ということは、四角錐の高さが 5 cm なので、底面の「3 cm」の辺を底辺とする側面の三角形の高さは
　　√(2² + 5²) = √29 ≒ 5.385
です。従って、底面の「3 cm」の辺を底辺とする側面の三角形の面積は
　　3 × 5.385 ÷ 2 = 8.0775 ≒ 8.08

　同様に、底面の「4 cm」の辺を「底辺」とすると、底面の中心までの距離が「3 cm」の辺の長さの半分の「1.5 cm」なので、底面の「4 cm」の辺を底辺とする側面の三角形の高さは
　　√(1.5² + 5²) = √27.25 ≒ 5.220
です。従って、底面の「4 cm」の辺を底辺とする側面の三角形の面積は
　　4 × 5.22 ÷ 2 = 10.44
　つまり
　　側面の面積 ≒ 8.08 × 2 + 10.44 × 2 = 37.04 (cm²)
　これに「底面積：12 (cm²)」を加えて、
　　四角錐の表面積 ≒ 12 + 37.04 = 49.04 (cm²)

No.4 回答者： naochan1155 回答日時： 2016/05/29 22:28

1)円錐の表面積を求めるために、本円錐は底面が半径３ｃｍの円であり、側面は半径rcmの扇形になるので。

この扇形の半径rを求めると、頂点を含む底面に垂直な面できった切り口が底辺＝３ｃｍ、高さ＝４ｃｍより、r=√(3^2+4^2)=5cm。次に扇形の中心角を求める。これは、扇形の孤の長さが底面の円周の長さに等しいことから求める。孤の長さ＝ｒ、中心角＝θ（°）とすると、2πrxθ/360=2πx3より、θ=3/5x360=216°、または、θ/360=3/5となる（θは求める必要はなく、θ/360の値がわかればよい）
よって、円錐の表面積の側面部部分＝扇形の面積＝πr-2x(θ/360)=πｘ5^2x3/5=15πcm2、底面の面積＝πｘ3^2=9πcm2より、
円錐の表面積＝底面の面積＋側面の面積＝９π＋15π＝24πcm2・・・（答）

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2016/05/29 20:34

No.2です。

「補足」に書かれたことについて。

＞πを使って答えていただけると嬉しいです！

そんなレベルの方だと思って、「3.14」で計算して差し上げました。
ご自分で計算し直してみるつもりはないのですか？　

１）
　底面積 = 3 × 3 × パイ = 9パイ (cm²)
　高さ = 4 (cm)
なので
　体積 = 9パイ × 4 ÷ 3 = 12パイ (cm³)

　側面の面積 = 4 × 4 × パイ × 3/4 = 12パイ (cm²)
これに「底面積：9パイ (cm²)」を加えて、
　円錐の表面積 = 9パイ + 12パイ = 21パイ (cm²)

2) には「パイ」は使いません。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/05/29 20:20

どちらも、体積は

　　底面積 × 高さ ÷ 3
です。
　従って、
１）
　底面積 ≒ 3 × 3 × 3.14 = 28.26 (cm²)
　高さ = 4 (cm)
なので
　体積 ≒ 28.26 × 4 ÷ 3 = 37.68 (cm³)

２）
　底面積 = 3 × 4 = 12 (cm²)
　高さ = 5 (cm)
なので
　体積 = 12 × 5 ÷ 3 = 20 (cm³)


表面積は、側面部分の面積を計算するのに少し工夫が必要です。

１）「側面」は半径 4 cm の円から一部を切り取った「扇型」です。円周が直径 6 cm の「底面」の円周と等しいので、
　　円周 = 6パイ
です。
　半径 4 cm の円周は 8パイですので、側面の面積は
　　半径 4 cm の円の面積の「6パイ/8パイ = 3/4」ということが分かります。
　つまり
　　側面の面積 ≒ 4 × 4 × 3.14 × 3/4 = 37.68 (cm²)
　これに「底面積：28.26 (cm²)」を加えて、
　　円錐の表面積 ≒ 28.26 + 37.68 = 65.94 (cm²)

２）側面の「三角形」の面積は、この三角形の「高さ」を求めないといけません。
　底面の「3 cm」の辺を「底辺」とすると、底面の中心までの距離が「4 cm」の辺の長さの半分の「2 cm」です。ということは、四角錐の高さが 5 cm なので、底面の「3 cm」の辺を底辺とする側面の三角形の高さは
　　√(2² + 5²) = √29 ≒ 5.385
です。従って、底面の「3 cm」の辺を底辺とする側面の三角形の面積は
　　3 × 5.385 ÷ 2 = 8.0775 ≒ 8.08

　同様に、底面の「4 cm」の辺を「底辺」とすると、底面の中心までの距離が「3 cm」の辺の長さの半分の「1.5 cm」なので、底面の「4 cm」の辺を底辺とする側面の三角形の高さは
　　√(1.5² + 5²) = √27.25 ≒ 5.220
です。従って、底面の「4 cm」の辺を底辺とする側面の三角形の面積は
　　4 × 5.22 ÷ 2 = 10.44
　つまり
　　側面の面積 ≒ 8.08 × 2 + 10.44 × 2 = 37.04 (cm²)
　これに「底面積：12 (cm²)」を加えて、
　　四角錐の表面積 ≒ 12 + 37.04 = 49.04 (cm²)

No.1 回答者： むらさめ 回答日時： 2016/05/29 19:42

1)円錐の体積は、底面積×高さ/3

3×3×π×4/3＝12π(cm^3)　π=3.14なら　37.68(cm^3)

2)どの形の錐の体積も、底面積×高さ/3
錐の頂点が底面からずれた位置に有っても同じです。
3×4×5/3=20(cm^3)