確率密度関数

非負の連続確率変数Xの確率密度関数がf(x)＝λe^-λx λ>0 x≥0 であるとき
Xの分布関数F(x)＝Pr(X≤x)を求め、X>aであることを条件としたときのX>a＋bとなる条件付き確率Pr(X>a＋b ❙ X>a)を求めなさい。このときaとbは非負の定数である。

以上の問題を分かりやすく教えていただける方、回答よろしくお願いします。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/05/31 11:01

確率変数がとびとびの値（たとえばサイコロの目の数）の場合には、「１の目の出る確率」は「1/6」と表わされ、「１～６」の目の出る確率の合計は「(1/6) × 6 = １」になりますので、各々の目の出る確率「1/6」が確率密度関数になります。

　ところが、連続的な値をとる場合、たとえば「桁数に制限のない、０≦ｘ≦1 の一様な乱数のうち、x=0.5 ピッタリである確率」はゼロになってしまいます。（０≦ｘ≦1 の間には無限大個の実数が存在するので、その中の１つになる確率はゼロになってしまう）
　0.49≦ｘ≦0.51となる確率なら、0.02/1 = 1/50 と決まります。実際に「確率」にするには、確率変数 x の「範囲」を指定する必要があります。
　こういうものの分布を示すのが「確率密度関数」f(x) です。（「ある値」の確率を示す関数ではなく、「ある値の範囲」の確率を示すので「確率密度関数」。普通、「確率関数」とか「確率分布関数」といっているのは、実はこの「確率密度関数」です）

↓ ここが分かりやすいかな。
http://mathtrain.jp/pmitsudo

　この場合は、f(x) = 1 (０≦ｘ≦1) で、a≦ｘ≦b となる確率 P(a≦ｘ≦b) は
　　　P(a≦ｘ≦b) ＝ ∫(a~b)f(x)dx
となります。
　確率なので、確率変数 x の全範囲（この例の場合には０≦ｘ≦1）に関しては
　　　P(0≦ｘ≦1) ＝ 1
となります。

　ご質問の場合には、０≦ｘ≦∞ に対して
　　　f(x)＝λe^(-λx)　　 (λ>0)
ということです。
　実際に、定義された x の範囲全体の確率（確率の合計値）は
　　　P(0≦ｘ≦∞)
　　= ∫(0~∞)f(x)dx
　　= [ -e^(-λx) ](0~∞)
　　= -0 - (-1)
　　= 1
になっていますね。

　お示しの問題では、大文字の X と 小文字の「確率変数 x 」をきちんと区別しないといけません。その意味で、大文字の X を Y と書きます。すると
　　F(Y) ≡ Pr(Y≦x)
なので、
　　Pr(Y≦x)
　= ∫(Y~∞)f(x)dx
　= [ -e^(-λx) ](Y~∞)
　= -0 - (-e^(-λY)
　= e^(-λY)
となり
　　F(Y) = e^(-λY)
です。

　次ですが、
＞X>aであることを条件としたときのX>a＋bとなる条件付き確率Pr(X>a＋b ❙ X>a)
の意味が不明です。
　大文字・小文字の X, x を正しく書かれていますか？

　ここでは、本来小文字で「x>a であることを条件としたときの x>a＋b となる条件付き確率 Pr(x>a＋b ❙ x>a)」と書かれるべきなのではないかと思います。
　この場合には、「x>a である確率は F(a) = e^(-λa)、 x>a+b である確率は F(a+b) = e^[-λ(a+b)] 」となるので、x>a である事象のうち、 x>a＋b となる確率 Pr(x>a＋b ❙ x>a) は
　　Pr(x>a＋b ❙ x>a) ≡ Pr(x>a＋b) / Pr(x>a)
　= e^[-λ(a+b)] / e^(-λa)
　= e^(-λb)
となります。
　これを求めさせようとしているのではないかと推察します。

　両方とも大文字の X なら、ここでは上に書いたように Y と書いて、「aとbは非負の定数である」とあるので、Y>a＋b≧a ということになります。
　従って、単純に
　　Pr(Y>a＋b ❙ Y>a) = Pr(Y>a＋b) = F(a+b) = e^[-λ(a+b)]
かなあ。でも、もともと Y は確率変数ではないので、これは本来の Pr の定義とは違っています。

　問題文を正しく確認いただけるのが先決かな。

No.1 回答者： DAXINGXING 回答日時： 2016/05/31 05:45

先ず確率分布関数と確率密度関数の関係から。

分布関数の導関数は確率密度関数であり、普通教科書で説明しているのは横軸にｘを縦軸に確率密度をとりｘ>=0で山の形の曲線を示しｘが大きくなると、確率密度が限りなくゼロに近づくように
書いてある。そこで例えば値xがaより大きくbより小さい確率はx=aからx=bの間の曲線の下の面積が確率だと説明してある。そこでこの説明をこの問題に利用するとF(x)=Pr(X=<x)=∫(X<x<+∞)λe^-λxdx=(-λ*e^-λx/λ)(x=+∞)-(-λ*e^-λx/λ)(x=X)=e^-λX となる。次の問題X>aを条件にX>a+bとなる確率だがa,b両者が非負数であればX>a+bはX>aという条件を自ずと満たしているから、Pr(X>a+b|X>a)=e^-λ(a+b)となる。絵入りで説明したほうが分かりやすいのだが、教科書を自分で見ながら考えてください。因みに上の分布関数は指数分布関数と言われるものです。インターネットで調べればその形はすぐにわかります。